Optimização topológica multi-objectivo de estruturas lineares elásticas tridimensionais

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Universidade de Aveiro 2008
Departamento de Engenharia Mecânica
Marco Filipe Esteves Fernandes
Optimização topológica multi-objectivo de estruturas lineares elásticas tridimensionais





Universidade de Aveiro
2008 Departamento de Engenharia Mecânica
Marco Filipe Esteves Fernandes
Optimização topológica multi-objectivo de estruturas lineares elásticas tridimensionais
Dissertação apresentada à Universidade de Aveiro para cumprimento dos requisitos necessários à obtenção do grau de Mestre em Engenharia Mecânica, realizada sob a orientação científica do Professor Doutor António Gil d’Orey de Andrade Campos, Professor Auxiliar Convidado do Departamento de Engenharia Mecânica da Universidade de Aveiro.





Dedico este trabalho à minha esposa pelo incansável apoio e a meus filhos por inspirarem-me a ser uma pessoa melhor todos os dias.






o júri
presidente Professor Doutor Alfredo Balacó de Morais Professor Associado da Universidade de Aveiro

Professor Doutor Rogério Pereira Leal Professor Auxiliar da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Professor Doutor Filipe Miguel Horta e Vale Teixeira-Dias Professor Auxiliar da Universidade de Aveiro

Professor Doutor António Gil d’Orey de Andrade Campos Professor Auxiliar Convidado da Universidade de Aveiro







agradecimentos
Gostaria de agradecer ao meu orientador, Prof. Dr. António Gil d’Orey de Andrade Campos, por partilhar o seu conhecimento científico, pelo estímulo, amizade e extraordinária disponibilidade para me ensinar ao longo destes meses de trabalho; a ele muito obrigado. Ao Prof. Dr. Filipe Miguel Horta e Vale Teixeira-Dias pela disponibilidade para orientar temas e ceder bibliografia. Ao meu filho André Filipe pela motivação para continuar sempre, mesmo nas horas difíceis. À minha esposa Natália, por tudo… Um agradecimento especial à minha família, e principalmente aos meus pais, porque se cheguei até aqui foi graças a eles. Um obrigado a todos os que de alguma forma contribuíram para a realização deste trabalho.





palavras-chave
Optimização estrutural, optimização topológica, elementos finitos, elasticidade, energia de deformação.
resumo
O processo de optimização estrutural consiste em obter o projecto de melhor desempenho, que é avaliado através de uma função objectivo definida a partir de um conjunto de variáveis que descrevem o sistema estrutural, denominadas variáveis de projecto. No caso da optimização topológica, isto é realizado através da variação do domínio (topologia) da estrutura. Em geral, os métodos de optimização topológica são baseados na análise da sensibilidade da função objectivo e das restrições impostas ao problema. Neste trabalho utiliza-se um modelo computacional para a determinação da topologia óptima de estruturas lineares elásticas. Com o objectivo de obter a estrutura de maior rigidez para um dado carregamento e condições de fronteira, o problema é resolvido pela minimização da energia de deformação sujeita a um constrangimento de volume. A formulação matemática para uma carga simples é introduzida. Esta penaliza as densidades relativas intermédias e utiliza um filtro numérico de controlo de perímetro. A metodologia e formulação apresentada foi implementada no programa TopF. Este programa calcula a função objectivo com auxílio do programa de elementos finitos Abaqus® e determina, de forma iterativa, as densidades relativas de cada elemento pertencente ao domínio de projecto. Para isso recorre a um método de optimização heurístico baseado em multiplicadores de Lagrange. Apresentam-se exemplos numéricos de problemas de optimização topológica em elasticidade linear 2D e 3D, que servem para validar a metodologia apresentada neste trabalho.





keywords
Structural optimization, topology optimization, finite elements, elasticity, deformation energy.
abstract
The process of structural optimization consists in obtaining the project of better performance, which is valued through an objective function defined from a set of variables that describe the structural system, called variables of project. In case of the topology optimization, this is carried out through the variation of the domain (topology) of the structure. In general, the methods of topology optimization are based on the analysis of the sensibility of the objective function and constraints imposed on the problem. In this work a computational model is used for the determination of the best topology of linear and elastic structures. With the objective to obtain the structure with maximum global stiffness for a given load and constraints, the problem is solved designing for minimum compliance subject to a volume constraint. The mathematical formulation for a simple load is introduced. This one penalizes the relative intermediate densities and uses a numerical filter of control of perimeter. The methodology and presented formulation was implemented in the program TopF. This program calculates the objective function with help of the program of finite elements Abaqus® and it determines, in an iterative way, the relative densities of each pertaining element to the design domain. For that it resorts to a heuristic method of optimization based on Lagrangian multipliers. Numerical examples of problems of topology optimization in linear elasticity 2D and 3D are presented, and serve to validate the methodology presented in this work.


Índice 1
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado

Índice

Índice …………………………………………………………………………………… 1
Lista de figuras ……………………………………………………………………….. 3
1. Enquadramento ………………………………………………………………………….. 7 1.1. Introdução ……………………………………………………………………………… 7
1.2. Simulação ……………………………………………………………………………… 9
1.3. Optimização …………………………………………………………………………… 10
1.3.1. Conceitos Básicos …………………………………………………………… 11
1.3.2. Métodos de Optimização Clássicos e Naturais ………………………….. 12
1.3.3. Optimização Estrutural ……………………………………………………… 13
1.3.3.1. Histórico ……………………………………………………………… 14
1.3.3.2. Tipos de Optimização Estrutural ………………………………….. 16
1.4. Optimização Topológica …………………………………………………………….. 17
1.5. Organização da Tese ………………………………………………………………… 22


2. Modelação Matemática ………………………………………………………………… 23 2.1. Introdução ……………………………………………………………………………… 23
2.2. Formulação do Problema de Optimização Topológica …………………………… 23
2.3. Método de Optimização ……………………………………………………………… 24
2.3.1. Minimização da Energia de Deformação sujeita a um
Constrangimento de Volume ……………………………………………….. 25
2.3.2. Resolução do Método de Optimização ……………………………………. 27
2.4. Teoria dos Elementos Finitos ……………………………………………………….. 29
2.4.1. Equações de Equilíbrio e Condições de Fronteira ……………………… 31
2.5. Modelo de Comportamento Elástico ……………………………………………….. 32
2.5.1. Tensão e Deformação Planas ……………………………………………… 33
2.5.2. Caso Geral …………………………………………………………………… 35


Índice 2
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado

3. Metodologia e Implementação ………………………………………….…………… 37 3.1. Introdução …………………………………………………………………………….. 37
3.2. Algoritmo ………………………………………………………………………………. 37
3.3. Resolução de um Problema ………………………………………………………… 40
3.4. Problemas de Implementação ………………………………………………………. 41
3.4.1. Dependência da Malha ……………………………………………………… 42
3.4.2. Instabilidade de Tabuleiro “checkerboard” ……………………………….. 43
3.4.3. Mínimos Locais ……………………………………………………………… 46


4. Aplicações, Resultados e Validação …………………………….………………… 47 4.1. Introdução …………………………………………………………………………….. 47
4.2. Aplicações …………………………………………………………………………….. 47
4.2.1. Viga Bi-apoiada ……………………………………………………………… 47
4.2.2. Viga com Furo Fixo ………………………………………………………….. 52
4.2.3. Viga com Cargas Múltiplas…………………………………….................... 53
4.2.4. Estrutura Bi-constrangida …………………………………………………... 54
4.2.5. Viga Encastrada Tridimensional …………………………………………… 57
4.2.6. Placa Tridimensional ………………………………………………………... 61
4.2.7. Bloco Tridimensional ………………………………………………………... 64
4.2.8. Suporte Cilíndrico ……………………………………………………. ……… 68


5. Conclusões …………………………….…………………………………………………. 73
Bibliografia …………………………………………………………………………………… 75



Lista de figuras 3
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado

Lista de figuras

Figura 1.1: Esquema comparativo entre um projecto convencional e um
projecto optimizado [21] …………………………………………………………. 8
Figura 1.2: Optimização Estrutural: Optimização Dimensional (à esquerda),
Optimização Topológica (à direita) e Optimização de Forma
(abaixo) [3] ………………………………………………………………………… 17
Figura 1.3: Procedimento típico de projecto estrutural por optimização
topológica [14] ……………………………………………………………………. 18
Figura 1.4: Distribuição de material pelo Método de Optimização Topológica
no interior de um domínio fixo ao longo das iterações (somente
metade do domínio é mostrado) ……………………………………………….... 19
Figura 1.5: Fluxograma geral de Optimização Topológica de uma Estrutura [3] ……….. 21


Figura 2.1: Problema geral de Optimização Topológica …………………………………… 24
Figura 2.2: Gráfico da variação do factor de penalidade das densidades
intermédias p ……………………………………………………………………… 26
Figura 2.3: Algumas formas geométricas possíveis para elementos finitos:
(a) unidimensionais, (b) bidimensionais e (c) tridimensionais [28] …………. 30
Figura 2.4: Representação esquemática do corpo sólido deformável Ω com a fronteira exterior Σ ……………………………………………………….. 31


Figura 3.1: Fluxograma do processo de optimização topológica ………………………… 38
Figura 3.2: Diagrama do modelo computacional de optimização topológica …………… 39
Figura 3.3: Resolução de um problema de optimização de topologia
pela metodologia implementada ……………………………………………….. 41
Figura 3.4: Exemplo do fenómeno de Dependência da Malha [27] ……………………… 43
Figura 3.5: Exemplo do fenómeno da Instabilidade de Tabuleiro
“Checkerboard” [27] ……………………………………………………………… 44
Figura 3.6: Mínimos e Máximos de uma Função Objectivo ………………………………. 46


Lista de figuras 4
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado

Figura 4.1: Viga bi-apoiada: a) domínio completo; b) metade do
domínio com condições de simetria …………………………………………… 47
Figura 4.2: Resultados da viga bi-apoiada após optimização topológica.
Somente é representado metade do domínio ………………………………… 48
Figura 4.3: Variação da discretização da malha: Problema de dependência
da malha …………………………………………………………………………... 49
Figura 4.4: Variação do filtro de controlo de perímetro (rmin): Problema
da Instabilidade de Tabuleiro “checkerboard” ………………………………… 50
Figura 4.5: Variação do coeficiente de penalidade das densidades
relativas intermédias (p) …………………………………………………………. 50
Figura 4.6: Gráfico da variação da função objectivo com o número de iterações ……… 51
Figura 4.7: Gráfico da variação da densidade dos elementos com
o número de iterações …………………………………………………………… 51
Figura 4.8: Viga com furo fixo: Geometria, carregamento e condições de fronteira …… 52
Figura 4.9: Viga com furo fixo após optimização …………………………………………… 52
Figura 4.10: Viga com cargas múltiplas: Geometria, carregamento
e condições de fronteira …………………………………………………………. 53
Figura 4.11: a) Viga após optimização com cargas P1 e P2 aplicadas
em simultâneo; b) Viga após optimização com cargas P1 e P2 aplicadas separadamente ………………………………………………………. 53
Figura 4.12: Estrutura bi-constrangida: Geometria, carregamento
e condições de fronteira ………………………………………………………… 54
Figura 4.13: Resultados da estrutura bi-constrangida após optimização topológica ….. 55
Figura 4.14: Variação da discretização da malha: Problema de dependência
da malha ………………………………………………………………………….. 56
Figura 4.15: Variação do filtro de controlo de perímetro (rmin): Problema
da Instabilidade de Tabuleiro “checkerboard” ………………………………… 56
Figura 4.16: Variação do coeficiente de penalidade das densidades
relativas intermédias (p) ………………………………………………………… 56
Figura 4.17: Viga Encastrada Tridimensional: Geometria, carregamento
e condições de fronteira ………………………………………………………… 57
Figura 4.18: Resultados da viga encastrada tridimensional após optimização
topológica: à esquerda as vistas centrais da estrutura; ao centro
as vistas posteriores da estrutura; à direita as vistas centrais da

Lista de figuras 5
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
estrutura suavizada (estrutura obtida através de interpolação
entre os nós) ……………………………………………………………………… 58
Figura 4.19: Variação do coeficiente de penalidade das densidades
relativas intermédias (p) ………………………………………………………… 59
Figura 4.20: Variação do filtro de controlo de perímetro (rmin) ……………………………. 59
Figura 4.21: Gráfico da variação da função objectivo com o número de iterações ……. 60
Figura 4.22: Gráfico da variação da densidade dos elementos com
o número de iterações …………………………………………………………… 60
Figura 4.23: Placa Tridimensional: Geometria, carregamento
e condições de fronteira ………………………………………………………… 61
Figura 4.24: Resultados da placa tridimensional após optimização
topológica: na coluna da esquerda podem observar-se as vistas
centrais da estrutura com representação dos elementos; na coluna
do centro as vistas de baixo da estrutura com representação dos
elementos; na coluna da direita as vistas centrais da estrutura com
interpolação entre os nós ……………………………………………………….. 62
Figura 4.25: Variação do coeficiente de penalidade das densidades
relativas intermédias (p) ………………………………………………………… 63
Figura 4.26: Variação do filtro de controlo de perímetro (rmin) ……………………………. 63
Figura 4.27: Bloco Tridimensional: Geometria, carregamento
e condições de fronteira ………………………………………………………… 64
Figura 4.28: Resultados do bloco tridimensional após optimização
topológica para as cargas P1 e P2: na coluna da esquerda podem
observar-se as vistas centrais da estrutura com representação dos
elementos; na coluna da direita podem observar-se as vistas centrais
da estrutura com interpolação entre os nós ………………………………….. 65
Figura 4.29: Resultados do bloco tridimensional após optimização
topológica para as cargas P1 e P2 aplicadas em critério de cargas
múltiplas: na coluna da esquerda podem-se observar as vistas centrais
da estrutura; na coluna da direita podem observar-se as vistas centrais
da estrutura suavizada ………………………………………………………….. 66
Figura 4.30: Gráfico da variação da função objectivo com o número de iterações ……. 67
Figura 4.31: Gráfico da variação da densidade dos elementos com
o número de iterações …………………………………………………………… 67
Figura 4.32: a) Bloco material com suporte cilíndrico: Geometria,

Lista de figuras 6
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
carregamento e condições de fronteira; b) corte efectuado
no conjunto para melhor visualização ………………………………………… 68
Figura 4.33: Resultados do bloco material após optimização topológica
para a carga P1: na coluna da esquerda pode observar-se a
representação dos elementos da estrutura; na coluna da direita pode
observar-se a estrutura com interpolação entre os nós ……………………… 69
Figura 4.34: Resultados do bloco material após optimização topológica para o
critério de cargas múltiplas: na coluna da esquerda pode observar-se
a representação dos elementos da estrutura; na coluna da direita pode
observar-se a estrutura com interpolação entre os nós ……………………… 70
Figura 4.35: Problema da Instabilidade de Tabuleiro “checkerboard” …………………… 71
Figura 4.36: Tensões de Von Mises nos pontos de integração
(factor de escala: +2,377e+03) …………………………………………………… 72
Figura 4.37: Deslocamento espacial dos nós (factor de escala: +2,377e+03) …………… 72






1. Enquadramento 7
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
Capítulo 1. Enquadramento

1.1. Introdução
Durante muito tempo o desenvolvimento de projectos de engenharia na indústria
foram realizados baseando-se em cálculos estruturais rudimentares e na experiência de
projectos anteriores.
Até meados do século passado, estes projectos eram idealizados como um tipo de
“arte”, onde se exigia ao projectista uma grande capacidade e experiência para a
resolução dos problemas. Nessa altura o processo de projecto era geralmente um
processo do tipo “tentativa e erro”, e as decisões eram tomadas a partir de suposições e
intuições adquiridas ao longo do tempo.
Os motivos para a adopção deste tipo de procedimentos variavam. Os mais comuns
são a falta de conhecimento de técnicas mais sofisticadas, recursos escassos para
investimentos em equipamentos, necessidade de rapidez na apresentação de resultados
(prejudicando a qualidade), e desinteresse por novas tecnologias causado pela falta de
concorrência.
Mas esta situação tem-se alterado nas últimas décadas, e o desenvolvimento
científico na área da análise estrutural teve um grande impulso devido sobretudo ao
aumento da velocidade e capacidade de armazenamento dos computadores digitais, que
permitiu o desenvolvimento de vários métodos computacionais, até então impossíveis de
implementar. O aparecimento dos computadores digitais revolucionou técnicas para a
resolução das equações complexas que regem os fenómenos da engenharia estrutural.
Técnicas como o Método dos Elementos Finitos (MEF), Método das Diferenças Finitas,
Método dos Elementos de Contorno, Método dos Volumes Finitos, entre outros,
passaram a fazer parte do quotidiano do engenheiro estrutural.
Actualmente, na engenharia moderna, existe uma maior exigência requerendo uma
maior redução do tempo de projecto, produtos mais funcionais, mais eficientes, com
maior qualidade e menor custo. Deste modo, é necessário a criação de métodos que
ajudem a prever e analisar o comportamento de um produto mesmo antes do seu fabrico.
Assim, podem-se criar produtos novos e sofisticados recorrendo a ferramentas
computacionais baseadas em métodos científicos bem estabelecidos, visando a análise
da estrutura, os seus parâmetros e a sua optimização.

1. Enquadramento 8
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
Uma concepção mais moderna em engenharia baseia-se naquilo que a natureza e
os seres humanos intuitivamente buscam: o óptimo. Tratando-se especificamente de
engenharia computacional, busca-se o óptimo através de ferramentas adequadas, no
caso, os métodos numéricos.
Hoje em dia já não basta projectar um sistema que desempenhe correctamente a
sua função. Devemos projectar o melhor sistema possível.
Os processos de optimização podem ajudar na realização de um projecto
consistente sem desperdiçar tempo e material, e com a certeza que este cumpre os
requisitos básicos. A Optimização é uma ferramenta bastante flexível que permite
melhorar o projecto de várias formas, consoante o que se escolha como objectivo,
restrições e variáveis. Desta forma, os métodos de optimização estrutural auxiliam na
criação de estruturas eficientes que satisfaçam as necessidades de maneira eficaz.
A figura 1.1 mostra de forma esquemática as diferenças entre um projecto
convencional e um projecto optimizado. Nesta figura podemos observar que o projecto
convencional analisa o sistema com base em critérios de performance e as alterações ao
projecto são baseadas na experiência / heurística, enquanto que o projecto optimizado
analisa o sistema através das variáveis de projecto, funções de custo e restrições, sendo
as alterações no projecto realizadas através de um método de optimização.

















Figura 1.1: Esquema comparativo entre um projecto convencional e um projecto optimizado [21]
Dados que descrevem o
sistema
Análise do sistema
Projecto inicial
Critérios de performance
Projecto é satisfatório ? Pára
Alterações baseadas na experiência / heurística
Sim
Não
Dados que descrevem o sistema
Análise do sistema
Projecto inicial
Verificar restrições
Convergência satisfatória ? Pára
Alterações no projecto utilizando um método de optimização
Sim
Não
Variáveis de projecto, função custo, restrições
Projecto Convencional: Projecto Optimizado:

1. Enquadramento 9
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
1.2. Simulação
Nos dias de hoje a simulação de problemas de engenharia são de extrema
importância para o estudo de casos reais. As abordagens numéricas aos problemas de
engenharia são cada vez mais necessárias pois, na maioria das situações actuais, os
métodos analíticos não conseguem dar resposta satisfatória à resolução de problemas
complexos, muito frequentes em engenharia.
O Método dos Elementos Finitos (MEF) é, presentemente, o método numérico mais
utilizado em engenharia quando se pretende simular o comportamento de sistemas reais.
Consiste num método matemático de análise e resolução, quase sempre aproximada, de
problemas científicos e de engenharia. O MEF é utilizado, na generalidade das vezes, em
problemas para os quais não se conhece uma solução exacta mas que possa ser
expressa de forma matemática. A aplicação do MEF a problemas de engenharia,
forçosamente complexos, exige muitas vezes a disponibilidade de meios computacionais
avultados. Consequentemente o desenvolvimento do próprio método dos elementos
finitos tem vindo a processar-se de acordo com a disponibilidade tecnológica destes
mesmos meios digitais. Este representa um papel fundamental e indispensável na
investigação e desenvolvimento científico, devendo ser robusto e eficiente de forma a
superar as não-linearidades dos modelos e conduzir a uma relação qualidade/custo
computacional favorável.
O MEF divide a estrutura em subdomínios geometricamente mais simples
(discretização do sistema) e resolve as equações lineares que descrevem o
comportamento estrutural do sistema discretizado. Na implementação do MEF é sempre
necessário, nalgum ponto do algoritmo, construir e/ou resolver um ou mais sistemas de
equações algébricas, na forma
fKu = (1.1) onde a matriz K designa-se por matriz de rigidez e, na maioria das situações, é totalmente determinada antes de ser necessário resolver o sistema [28]. O vector u é o vector das incógnitas do sistema – frequentemente os deslocamentos. Alguns dos seus
elementos podem ser determinados ou conhecidos antecipadamente, sendo os restantes
o objectivo de cálculo do método dos elementos finitos quando aplicado ao cálculo de
estruturas. Por fim, f é o vector dos carregamentos exteriores. Também aqui é frequente saber os seus elementos antecipadamente.
Na simulação através do método dos elementos finitos, a etapa da discretização é
fundamental na qualidade dos resultados [5]. A escolha do tipo de elemento finito deve

1. Enquadramento 10
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
ter em consideração o equilíbrio entre o custo computacional, a precisão de resultados e
o tipo de representação. A escolha do elemento finito deve ter em consideração a
representação do meio contínuo da forma mais realista possível.
Presentemente, o MEF é aplicado na análise e estudo de fenómenos e problemas
muito diversos [28]. Estes vão desde o estudo de sistemas vibratórios, análise do
comportamento de materiais, resolução de problemas de condução de calor e mecânica
de fluidos, electricidade e magnetismo, entre outros. Na aplicação ao estudo do
comportamento de materiais é possível abranger uma grande diversidade de
comportamentos como, por exemplo, os lineares elásticos (Hooke), plásticos,
viscoplásticos, hiperelásticos, térmicos, entre outros.


1.3. Optimização
A Optimização sempre esteve, mesmo que inconscientemente, presente na vida do
homem, através de palavras como “melhor”, “mínimo” e “máximo”. Na verdade, o
conceito de optimização confunde-se com o próprio conceito de engenharia, onde o
objectivo principal é projectar algo com o menor “custo” possível.
Conceitos de optimização podem ser encontrados nos mais diversos campos do
conhecimento científico, como a biologia, física, estatística, economia, entre outros.
Os problemas de optimização são caracterizados por situações em que se deseja
maximizar ou minimizar uma função numérica de várias variáveis, num contexto em que
podem existir restrições. As funções e as restrições dependem dos valores assumidos
pelas variáveis de projecto ao longo do procedimento de optimização.
Em processos de optimização podem ser utilizados métodos computacionais que
realizam uma busca racionalizada da solução óptima. A utilização de um algoritmo de
optimização torna sistemática e automática a busca do ponto óptimo, independentemente
da experiência do projectista. Dessa forma o termo optimização é correctamente utilizado
quando estamos a utilizar um método matemático de busca sistemática da solução
óptima.
A Optimização pode ser aplicada em diversas áreas, tais como no projecto de
sistemas ou componentes, planeamento e análise de operações, problemas de
estruturas, controle de sistemas dinâmicos, entre outros.
A Optimização tem várias vantagens, tais como:
• diminuição do tempo dedicado ao projecto;

1. Enquadramento 11
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
• possibilitar o tratamento simultâneo de uma grande quantidade de variáveis e restrições de difícil visualização gráfica;
• possibilitar a obtenção de soluções não tradicionais e melhores; • diminuição do custo.

A Optimização é considerada nos dias de hoje uma ferramenta indispensável para a
análise de diversos problemas de decisão e alocação. Através da Optimização pode-se
maximizar ou minimizar um problema de forma clara e objectiva, melhorando
consideravelmente o desempenho de muitos processos.


1.3.1. Conceitos Básicos
Um problema de Optimização é definido, na sua forma mais geral, da seguinte
forma:
Minimizar:
[ ] nTnxxxf ℜ∈= xxx ,,...,,),( 21 (1.2) Sujeito a:
jjg j ,...,2,1,0)( =≥x kkhk ,...,2,1,0)( ==x (1.3) nixxx Uii
L i ,...,2,1,
)()( =≤≤ .
Os componentes básicos de um problema de optimização são portanto:

• Função Objectivo ( )(xf ): representa o objecto, quantificado matematicamente, a ser maximizado ou minimizado. A função objectivo é um escalar que pode
representar o lucro, custo, energia, produção, distância, entre outros, em termos
das variáveis (x1,x2,…) de decisão do processo ou sistema em análise. Por outras
palavras, é a função matemática cujo máximo ou mínimo se deseja encontrar.

• Modelo do processo: representa a forma como serão tratadas (equacionadas) a função objectivo e as variáveis de projecto, bem como as restrições (igualdades e
desigualdades). As variáveis de projecto (x1,x2,…) são as variáveis independentes
(parâmetros) da função objectivo e, portanto, passíveis de alteração. Para que o

1. Enquadramento 12
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
projecto seja tido como admissível, é necessário que os valores assumidos como
variáveis de projecto satisfaçam todas as restrições impostas. As variáveis de
projecto podem ser do tipo discreto, assumindo apenas alguns valores dentro de um
conjunto, ou do tipo contínuo, assumindo valores dentro de um intervalo.

• Restrições ( )()( ,),(),( UiLikj xxhg xx ): representam os limites impostos para o sistema. São os limites impostos às variáveis de projecto (restrições laterais) ou às
funções das variáveis de projecto (restrições gerais). As restrições podem ser de
igualdade ou desigualdade. As restrições em geral impõem uma solução de
compromisso na melhoria da função objectivo e devem ser impostas com o cuidado
de que sempre exista uma região viável de solução. Problemas mal definidos não
possuem região viável e não tem solução.

Em conclusão, pode dizer-se que um problema de optimização caracteriza-se por
uma função objectivo, que descreve o que se deseja optimizar, isto é, que mede a
qualidade da decisão a ser tomada, e restrições, que limitam o espaço de busca da
solução, restringindo esta a um grupo de soluções que atendam a certas necessidades.
Os problemas a serem abordados podem ser definidos por funções lineares e não
lineares, com ou sem restrições. A formulação matemática do problema é a etapa
fundamental para se conseguir uma boa solução. Se a descrição dos aspectos relevantes
do problema (objectivos a serem optimizados e restrições a serem cumpridas) for bem
feita, a probabilidade de se encontrar uma boa solução é maior.


1.3.2. Métodos de Optimização Clássicos e Naturais
Ao longo da história da Optimização, os métodos que se utilizavam para a
resolução dos problemas foram variando, conforme os recursos disponíveis na época.
Existem dois tipos de métodos de optimização que podemos diferenciar:
• Métodos de Optimização do gradiente ou clássicos • Métodos de Optimização directos ou naturais

Ambos métodos têm tido um contributo fundamental na resolução dos problemas de
engenharia. Os métodos de optimização do gradiente ou clássicos são conhecidos há
mais de um século e são bastante fiáveis, sendo utilizados nos mais diversos campos da

1. Enquadramento 13
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
engenharia e em outras ciências. Estes métodos encontram o valor óptimo pelo cálculo
sucessivo do gradiente da função. Porém, estas técnicas podem apresentar algumas
dificuldades numéricas e problemas de robustez relacionados com: a falta de
continuidade das funções a serem optimizadas ou de suas restrições, funções não
convexas e com ruídos, necessidade de se trabalhar com valores discretos para as
variáveis, existência de mínimos ou máximos locais, entre outros. Os métodos clássicos
possuem como grande vantagem o baixo número de avaliações da função objectivo, o
que faz com que tenham convergência rápida.
Nos últimos anos tem ocorrido um enorme avanço nos recursos computacionais, o
que permitiu o estudo de outros métodos que até então estavam bastante limitados. É o
caso dos métodos de optimização directos ou naturais, que tem como factor limitante a
necessidade de um número elevado de avaliações da função objectivo, o que requer um
grande esforço computacional. Nestes métodos a função objectivo é avaliada várias
vezes, sendo possível trabalhar com vários pontos ao mesmo tempo numa iteração. Isto
eleva o custo computacional mas este facto é compensado pela menor probabilidade que
estes métodos têm de convergir para mínimos locais. Desta forma, é necessário existir
uma relação de compromisso.
De uma forma geral os métodos de optimização natural requerem maior esforço
computacional quando comparados com os métodos clássicos, mas apresentam
vantagens tais como a fácil implementação, robustez e não requerem continuidade na
definição do problema. Como exemplo desta classe de métodos podem-se citar os
Algoritmos Genéticos e o algoritmo conhecido como Bando de Partículas (Particle Swarm
Optimization).


1.3.3. Optimização Estrutural
A Optimização de Estruturas tem sido uma área activa de pesquisa no campo da
busca e optimização, e pode ser aplicada a todos os tipos de estruturas nas mais
diversas áreas. A Optimização Estrutural combina conceitos matemáticos e mecânicos
com engenharia, e possui um campo multidisciplinar muito vasto para aplicações, tais
como engenharia mecânica, civil, nuclear, aeronáutica e espacial. A consideração de
recursos materiais e energéticos limitados, baixo tempo de produção, forte competição
tecnológica e problemas ambientais, motivaram o aumento considerável da pesquisa em
optimização estrutural.

1. Enquadramento 14
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
No campo da engenharia, a optimização estrutural é uma importante área devido à
sua contribuição na redução de custos, material e tempo nos projectos, especialmente
para componentes e sistemas que requerem uma relação crucial entre peso e
performance, segurança e fiabilidade. Isto provoca um aumento no desempenho dos
componentes mecânicos, sem comprometer a sua integridade estrutural. Desta forma, a
Optimização Estrutural torna-se uma ferramenta poderosa durante a fase de projecto de
um produto.
A Optimização Estrutural é uma ferramenta importante para o engenheiro porque
envolve ao mesmo tempo a análise estrutural e a procura do melhor projecto sujeito a
certos objectivos e constrangimentos. Estes objectivos dependem do projecto total. Os
mais comuns são a minimização da massa ou do volume total da estrutura, sob
constrangimentos de deformação, tensão, fadiga ou critérios de falha, entre outros. De
um modo geral, todos os objectivos estão relacionados com a minimização de custos.
O problema da Optimização Estrutural consiste genericamente na determinação de
um conjunto de parâmetros da estrutura (as variáveis de projecto) de modo a minimizar
ou maximizar uma função de custo (ou objectivo), que satisfaça o objectivo requerido. Ou
seja, a Optimização Estrutural pode ser definida como uma forma racional de projecto
estrutural, onde se busca o melhor projecto (no sentido de um melhor desempenho)
dentro de um conjunto de possíveis projectos que satisfazem restrições de
comportamentos e/ou geometrias.
Normalmente, em problemas reais, não é possível definir um único objectivo, sendo
frequente optimizar-se uma estrutura para vários objectivos simultaneamente. Os
problemas com objectivos múltiplos são de difícil resolução, e uma forma de ultrapassar
esta dificuldade consiste em escolher o objectivo mais importante para função custo,
considerando os restantes como constrangimentos ao problema.
Após a definição do problema de optimização, a sua resolução consiste geralmente
em estabelecer um conjunto de condições necessárias de óptimo, que devem ser
resolvidas recorrendo a um algoritmo adequado.


1.3.3.1. Histórico
O conceito de optimização estrutural tem constituído um tópico de interesse por
mais de 100 anos. O primeiro cientista a aplicar este conceito foi Maxwell em 1872.
Naquela época haviam essencialmente estruturas civis, principalmente pontes. Maxwell

1. Enquadramento 15
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
decidiu obter um projecto de ponte que utilizasse a menor quantidade de material e que
verificasse o risco de falha.
Nessa tentativa, Maxwell estudou problemas simples utilizando conceitos da teoria
da elasticidade. A ideia era, dado um carregamento num domínio infinito e os pontos
onde esse domínio estaria apoiado (pontos de apoio da ponte, por exemplo), calcular o
campo de tensões mecânicas principais usando a teoria da elasticidade. Uma vez obtidas
as direcções das tensões principais, Maxwell sugeriu de forma conceitual que a estrutura
óptima, que utilizasse menos material, seria constituída de elementos de treliça alinhados
com essas direcções principais. Essa solução se mostrou mais tarde ser também a
solução óptima para o projecto de uma estrutura com a máxima rigidez e menor peso
considerando-se um carregamento único.
A ideia de Maxwell foi retomada por Michell em 1904, que decidiu aplicar o método
para o projecto de vários tipos de estruturas com o menor volume de material. No entanto
os resultados de Michell foram considerados muito académicos e sem aplicação prática,
pois eram muito difíceis de serem construídos na época e, por isso, foram esquecidos.
Esses resultados voltam a ser lembrados na década de 80 com a implementação de
softwares baseados em optimização topológica que se propõem a sintetizar estruturas.
Nos finais da década de 40 e início da década de 50 as aplicações da optimização
estrutural envolveram a minimização do peso de componentes utilizados na indústria
aeronáutica.
Os computadores digitais surgiram no início da década de 50 e impulsionaram a
aplicação de métodos numéricos de programação linear. Estes métodos eram aplicados
para resolver problemas de optimização estrutural envolvendo treliças. Nos finais da
década de 50 o interesse pela optimização estrutural foi grande na indústria aeroespacial
devido à necessidade de projectar estruturas leves.
Durante a década de 50, além do avanço tecnológico ao nível da informática,
ocorreram avanços teóricos significativos na área da mecânica estrutural. O
aparecimento da teoria dos elementos finitos passou a permitir aos engenheiros
projectistas a análise de estruturas complexas.
A optimização estrutural moderna, como é reconhecida desde o início da década de
60 até hoje, tem sido marcada por sucessivos progressos conseguidos ao nível da teoria
da optimização, métodos numéricos de optimização, hardware e software. Neste cenário
de desenvolvimento, a optimização estrutural não se limitou apenas às indústrias
aeronáutica e espacial, mas expandiu-se a um maior número de domínios: construção
automóvel, produção de máquinas-ferramentas, construção civil e naval.

1. Enquadramento 16
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
Na década de 70, vários algoritmos de optimização para problemas não-lineares
são implementados e na década de 80 surgem os primeiros softwares comerciais
dedicados à optimização estrutural. Alguns softwares de CAE passaram a incluir nos
seus códigos, módulos de optimização estrutural. No final da década de 80 surgem os
métodos de optimização topológica (MOT), que representam o conceito de síntese
estrutural na sua essência, sendo os métodos mais genéricos e poderosos disponíveis
actualmente.
Desde o início da década de 90 até hoje, os MOT já estão disponíveis em softwares
comerciais, sendo estendidos para outras áreas da engenharia além da mecânica
estrutural, como eléctrica, fluidos, entre outras.


1.3.3.2. Tipos de Optimização Estrutural
Conforme as variáveis de projecto utilizadas, podem-se distinguir 3 tipos de
Optimização Estrutural, estando estes classificados da seguinte forma:

• Optimização Dimensional: o domínio ocupado pela estrutura é conhecido e fixo durante o processo de optimização, isto é, não é uma variável de projecto. As
variáveis de projecto são parâmetros que caracterizam os elementos que
constituem a estrutura (propriedades da rigidez do elemento), tais como a área da
secção transversal das barras, espessura das placas, momento de inércia ou
propriedades do material. O processo de optimização busca encontrar, por
exemplo, a melhor área de secção transversal dos elementos de modo a obter a
maximização da rigidez com mínimo volume de material. Assim, neste tipo de
optimização não há alteração da forma da estrutura da peça mas apenas das suas
dimensões (aspecto).

• Optimização de Forma: consiste em determinar o domínio óptimo de uma estrutura através da variação da fronteira (forma do contorno), ou seja, aqui altera-
se a forma da estrutura de maneira a encontrar a solução óptima. As variáveis de
projecto são parâmetros que caracterizam o domínio ocupado pela estrutura, tais
como as posições dos nós de ligação dos elementos numa estrutura reticulada, o
comprimento de uma viga, entre outros. Este tipo de optimização exige maior
sofisticação na implementação numérica do que a optimização dimensional. A

1. Enquadramento 17
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
primeira dificuldade é escolher as variáveis de projecto adequadas para
parametrizar as formas no espaço de projecto.

• Optimização Topológica: procura o projecto óptimo através da variação da topologia da estrutura, ou seja, existe uma estrutura base de elementos estruturais
possíveis, e escolhe-se a melhor distribuição possível dentro deste universo. A
optimização topológica distingue-se dos outros problemas de optimização estrutural
devido a não considerar a topologia fixa à partida. As variáveis de projecto são
escolhidas de forma a permitirem decidir quais as zonas do espaço onde existe ou
não estrutura. Deste modo, muda-se a conectividade do domínio e
consequentemente a sua topologia.

Estes métodos e suas representações podem ser observados na figura 1.2.













1.4. Optimização Topológica
O problema de Optimização Topológica consiste em encontrar a melhor distribuição
de material dentro de um domínio específico de projecto. Por outras palavras, é distribuir
o material no interior de um espaço de projecto predefinido sob determinada condição de
contorno, de modo a minimizar a função objectivo e atendendo às restrições. A
distribuição de material ocorre tendo em consideração alterações em algum
comportamento mecânico da estrutura, tal como a flexibilidade, frequências naturais,
tensões, entre outros.
Figura 1.2: Optimização Estrutural: Optimização Dimensional (à esquerda), Optimização Topológica (à direita) e Optimização de Forma (abaixo) [3]

1. Enquadramento 18
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
A Optimização Topológica combina essencialmente Métodos de Optimização com o
Método dos Elementos Finitos (MEF). Este tipo de optimização surgiu na década de 80
nos EUA e Europa. A Optimização Topológica tornou o processo de projecto mais
genérico, sistemático e independente da experiência dos engenheiros, fornecendo a
topologia inicial optimizada do dispositivo a ser construído para uma certa aplicação.
O procedimento típico de projecto estrutural utilizando a optimização topológica é
apresentado na figura 1.3. O primeiro passo consiste em definir o domínio no qual a
estrutura pode existir. Esse domínio é limitado pelas condições de fronteira da estrutura
(pontos em que ela deve estar restrita) e pelos pontos de aplicação de carga. Outras
limitações podem estar relacionadas com a restrição do espaço ocupado.















No segundo passo o domínio é discretizado em elementos finitos e são aplicadas as
condições de fronteira.
No terceiro passo os dados do domínio são fornecidos ao software de optimização
topológica que, num processo iterativo, distribui o material no domínio de forma a
minimizar (ou maximizar) a função objectivo especificada. Dessa forma, a imagem da
estrutura obtida representa um excelente ponto de partida que necessita ser interpretado
para se obter o projecto final da estrutura.
Na quarta etapa ocorre essa interpretação, que pode ser feita usando-se métodos
de processamento de imagem, ou simplesmente desenhando-se uma estrutura baseada
na imagem obtida pela optimização topológica.
Figura 1.3: Procedimento típico de projecto estrutural por optimização topológica [14]

1. Enquadramento 19
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
A quinta etapa consiste na verificação do resultado final da estrutura. Normalmente
os resultados gerados pela optimização topológica não são intuitivos e é necessário
verificar a estrutura final usando o método dos elementos finitos para comprovar a
optimalidade do resultado.
A sexta etapa é o fabrico da estrutura. Hoje existem várias técnicas de fabrico que
permitem fabricar estruturas com formas complexas como, por exemplo, a prototipagem
rápida, entre outras.
A figura 1.4 ilustra como o método de optimização topológica distribui o material no
interior do domínio fixo ao longo das iterações. O problema considerado consiste na
obtenção da estrutura com maior rigidez e menor peso num domínio bi-apoiado sujeito a
um carregamento no seu centro.






















Figura 1.4: Distribuição de material pelo Método de Optimização Topológica no interior de um domínio fixo ao longo das iterações (somente metade do domínio é mostrado)

1. Enquadramento 20
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
A Optimização Topológica de estruturas pode ser dividida em duas categorias
distintas, considerando o tipo de parametrização do domínio do projecto:

1. Optimização Topológica a partir de um meio discreto: o domínio contínuo é
aproximado por um conjunto de elementos barra ou viga no domínio do projecto. As
dimensões das secções transversais das barras ou vigas são definidas como
variáveis de projecto. Quando a área de um elemento tende a zero, este elemento é
removido. Aqui a variação de conectividade significa não só gerar ou eliminar
membros estruturais entre as juntas já existentes, mas também definir novas juntas
ou remover as juntas existentes.

2. Optimização Topológica a partir de um meio contínuo: consiste na determinação,
para cada ponto do espaço de projecto, da presença ou não de material. Por outras
palavras, a optimização topológica transforma-se num problema de determinação
da melhor distribuição de material dentro do domínio. As variáveis de projecto
(como a densidade, características geométricas da microestrutura, entre outras)
estão envolvidas com a distribuição de material e possuem uma característica de
funções distribuídas ao longo do domínio de análise. Aqui a variação da
conectividade pode significar tanto separar ou juntar os domínios estruturais, como
também gerar ou excluir estes domínios.

No projecto da topologia de uma estrutura, determina-se a distribuição óptima de
um material isotrópico no espaço de projecto, que é definido por uma região de projecto,
condições de contorno de deslocamento e de forças prescritas. Esta distribuição óptima
depende da função objectivo a ser minimizada e das restrições impostas ao projecto.
Nesta perspectiva, o domínio do projecto é mantido fixo, limitado pelos pontos de apoio
da estrutura e pontos de aplicação de carregamento. Deve-se então, determinar a
distribuição óptima das propriedades do material ao longo do domínio, de forma que os
pontos materiais desse domínio possam ser caracterizados como vazio ou cheio. Na
implementação numérica, o domínio é discretizado numa malha de elementos finitos, que
pode permanecer inalterada durante o processo de optimização. Portanto a optimização
topológica é considerada como um problema pontual material / vazio [3].



1. Enquadramento 21
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
A figura 1.5. ilustra o fluxograma geral utilizado na optimização topológica de uma
estrutura.






















Inicialmente é feita uma estimativa para as variáveis de projecto que definem o
domínio. O domínio é limitado pelas condições de fronteira (restrições de deslocamento)
e regiões de aplicação de carregamentos. É também discretizado numa malha de
elementos finitos. Faz-se uma análise de elementos finitos para o cálculo dos
deslocamentos. Em seguida calculam-se as sensibilidades (gradientes) das variáveis de
projecto em relação à função objectivo e dá-se início ao processo de optimização que irá
encontrar a melhor distribuição de material no domínio de forma a maximizar ou
minimizar a função objectivo especificada. Havendo convergência no processo de
optimização, dentro de uma tolerância especificada, o procedimento é finalizado. Caso
contrário, o processo é reiniciado com a actualização das variáveis de projecto, utilizando
o passo e a direcção de descida do algoritmo de optimização [3].
Figura 1.5: Fluxograma geral de Optimização Topológica de uma Estrutura [3]
Inicialização (Estimativa inicial)
Análise de Elementos Finitos
Análise de Sensibilidade
Optimização
Convergiu?
Apresentar Resultados Pós-processamento
Parar
Sim
Não

1. Enquadramento 22
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
As técnicas de optimização têm permitido reduções drásticas nos custos do produto
final através da redução da quantidade de material, tendo grande impacto nas indústrias
de produção de larga escala (e.g. peças automóveis) e nas indústrias em que a redução
de peso é uma exigência do produto (e.g. aeronáutica).
É importante acrescentar que a aplicação de técnicas de optimização não causa
impacto apenas no desempenho mecânico em si da peça, mas pode causar impacto em
toda a cadeia produtiva. Assim, por exemplo, a redução de peso de uma peça pode
reduzir o seu tempo de produção permitindo que sejam produzidas mais peças e que
mais peças sejam transportadas. Portanto, reduzindo os custos ao longo de toda a
cadeia produtiva.
Além do problema clássico de optimização de maximização de rigidez para o menor
volume de material, outras funções objectivo são possíveis ainda na área da mecânica
estrutural clássica, como por exemplo, a maximização da frequência de ressonância, a
minimização da resposta em frequência da estrutura e a maximização da energia de
impacto. Algumas destas funções já estão implementadas em softwares comerciais.
Recentemente a optimização topológica tem-se expandido para outras áreas da
engenharia a nível académico, como o projecto de mecanismos flexíveis, actuadores,
motores pizoeléctricos e dispositivos electromagnéticos.


1.5. Organização da Tese
Para além do enquadramento, esta tese possui mais quatro capítulos. No capítulo 2
apresentam-se os modelos matemáticos e formulações numéricas dos processos a
estudar. Apresentam-se a formulação de um problema de optimização topológica, uma
breve síntese à teoria dos elementos finitos e a modelos de comportamento elástico, e a
descrição do método de optimização utilizado em optimização de topologia.
No capítulo 3 apresentam-se a metodologia e implementação do algoritmo utilizado.
Descreve-se a resolução de um problema e os problemas numéricos de implementação
que ocorrem em um processo de optimização topológica.
No capítulo 4 apresentam-se as aplicações, resultados e validação, através da
análise de vários exemplos no âmbito da mecânica estrutural.
No capítulo 5 são apresentadas as conclusões deste trabalho.

2. Modelação Matemática 23
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
Capítulo 2. Modelação Matemática

2.1. Introdução
No capítulo anterior fez-se um enquadramento dos problemas de Optimização em
engenharia, de forma a situar a origem, os métodos utilizados, quais as vantagens e sua
importância na indústria. Desta forma, falou-se em conceitos básicos de simulação e dos
métodos de Optimização, com particular atenção à Optimização Topológica. Este
processo envolve formulações matemáticas que estão definidas e que são rigorosas.
Neste capítulo apresenta-se a modelação matemática que define o método de
Optimização Topológica, e que serve de base para a construção dos diversos problemas
analisados ao longo deste trabalho. Na secção 2.2. apresenta-se a formulação de um
problema de Optimização Topológica. Na secção 2.3. apresenta-se o método de
Optimização, as equações numéricas que o definem e sua resolução. Na secção 2.4.
apresentam-se as equações base da teoria do método dos elementos finitos e na secção
2.5. faz-se uma introdução ao modelo de comportamento elástico.


2.2. Formulação do Problema de Optimização Topológica
O problema de Optimização Topológica tem como objectivo encontrar a melhor
distribuição para uma dada quantidade de material no interior de um espaço de projecto
predefinido, sob determinadas condições e cargas. Neste caso, a minimização da energia
de deformação é a função objectivo. A quantidade de material é sujeita a um
constrangimento de volume (ou massa) e a distribuição é limitada ao domínio do corpo Ω. Este domínio pode ter regiões fixas sólidas ou vazias [20]. Na figura 2.1 podemos
observar o problema geral de optimização topológica.
O primeiro passo no algoritmo de optimização topológica é a definição do domínio,
ou seja, da possível região do espaço a ser ocupada pela estrutura. A etapa seguinte é
definir as cargas a que está sujeito o domínio em questão. Segue-se então com a
discretização do domínio através do método dos elementos finitos. Conhecida a

2. Modelação Matemática 24
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
distribuição dos esforços no domínio, é possível adicionar ou remover material de certas
áreas, conforme a energia de deformação.













2.3. Método de Optimização
O problema de optimização topológica é na sua génese um problema de
optimização inteira, consistindo na identificação da função característica do domínio
ocupado pela estrutura, de modo a satisfazer um objectivo requerido. Isto é, pretende
calcular a função ρ em que
⎩⎨ ⎧=
materialexistenãose0 materialexistese1ρ (2.1)

Em geral este problema não tem solução. O problema discreto, controlado por um
parâmetro ρ que indica a existência de material (ρ=1) ou não existência de material (ρ=0),
não é bem formulado matematicamente, isto é, não garante a existência de mínimo. Os
algoritmos conhecidos para optimização inteira não permitem um grande número de
variáveis de projecto, imprescindível para resolver problemas de optimização topológica.
Uma forma de superar esta dificuldade é fazer uma abordagem microestrutural do
problema, onde a malha de elementos finitos é mantida constante durante todo o
processo de optimização, enquanto as mudanças ocorrem nas propriedades constitutivas
do material. Esta abordagem microestrutural admite a existência de “material intermédio”
com propriedades constitutivas que variam continuamente entre material sólido e vazio.
Este comportamento pode ser simulado através da definição de um material com
Figura 2.1: Problema geral de Optimização Topológica
Domínio de projecto
Cargas
Apoios
Sólido
Vazio
Ω

2. Modelação Matemática 25
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
microestruturas ou “poroso”. Uma técnica bastante utilizada por sua simplicidade é
admitir que o comportamento do material seja controlado por uma única variável ρ ∈[0,1], frequentemente chamada de “densidade” do material. Nesta formulação, denominada
SIMP (Solid Isotropic Material with Penalization), o tensor de elasticidade Eijkl e a massa
M são dados como

,1,)(,)()( 0 >Ω== ∫Ω pdxMExxE ijklpijkl ρρ (2.2) onde 0ijklE é o tensor de elasticidade do material de referência. A função de densidade
)(xρ entra na relação da rigidez numa potência p > 1 que tem um efeito de penalização sobre as densidades intermédias 0 < ρ < 1, fazendo com que a rigidez dada por E tenha
um comportamento não linear com a densidade (isto é, menor que a relação de
proporcionalidade). Ou seja, o uso do modelo SIMP para p > 1 força a topologia a
caminhar para valores limites das densidades, ρ = 0 (vazio) e ρ = 1 (sólido) [25].
A vantagem desta formulação é, no aspecto teórico, a introdução de um material
poroso com microestrutura na formulação do problema de optimização estrutural,
correspondente à relaxação do problema. Para além desta vantagem, o problema
discretizado pelo método dos elementos finitos é um problema de programação
matemática com um número finito de variáveis de projecto correspondentes à densidade
relativa, considerada constante em cada elemento, facilitando a sua implementação
computacional [9]. Esta formulação revelou ser um modelo eficaz para a obtenção da
topologia óptima de estruturas. Desde então, muito trabalho tem sido desenvolvido na
área de optimização de topologia para estruturas contínuas.


2.3.1. Minimização da Energia de Deformação sujeita a um Constrangimento de Volume

A densidade de um elemento pertencente ao domínio de projecto pode ser dada por
0 eρxρ = (2.3)
onde a variável xe representa a densidade relativa do material no elemento e ρ0 é a
densidade do corpo sólido homogéneo.
A energia de deformação C pode ser definida por
∑∑ ==
==== N
e
eep N
e
eee xC 1
0
1
TT uKuukuKuuuF (2.4)

2. Modelação Matemática 26
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
onde N é o número de elementos utilizados para discretizar o domínio, ue é o vector de deslocamentos em cada elemento, Ke é a matriz de rigidez e x representa a densidade relativa.
A rigidez para um elemento é dada por 0)( KK pee x= (2.5)
onde p é o factor de penalidade das densidades intermédias. Escolhendo o factor de
penalidade igual a 1 obtém-se frequentemente elementos com densidades intermédias.
Tais estruturas são difíceis de fabricar. Se escolhermos um factor de penalidade igual a 2
ou 3, a experiência indica uma configuração onde o elemento simples é preenchido com
ausência ou existência de material homogéneo com densidade ρ0. Na figura 2.2 pode-se
observar um gráfico que demonstra a influência penalizante do factor de penalidade nas
densidades intermédias p.













O volume do material a ser utilizado pode ser definido por
vxT=V , (2.6) onde V0 é o volume do domínio, v é o vector dos volumes elementares e x é o vector que agrega as densidades relativas dos elementos.

Pretende-se minimizar a energia de deformação sujeita a um constrangimento de
volume. Desta forma, o problema de Optimização Topológica baseado na lei da potência
(SIMP – Solid Isotropic Material with Penalization), utilizando a discretização através do
método dos elementos finitos, pode ser escrita da seguinte forma:

p=1
p=2 p=3
p=4
p=5
x
xp
Figura 2.2: Gráfico da variação do factor de penalidade das densidades intermédias p

2. Modelação Matemática 27
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
Minimizar uFT=C (2.7) sujeito a:
0V Vf =
: KuF = : maxmin xxx
e ≤≤<0 onde F é o vector de forças, K é a matriz rigidez global do material, xmin é o limite inferior para a densidade e xmax é o limite superior. Neste caso escolheu-se xmax = 1 e para xmin é,
por razões numéricas, normalmente utilizado o valor de 10-3. O limite inferior tem o valor
de 10-3 para evitar que a matriz de rigidez torne-se singular.


2.3.2. Resolução do Método de Optimização
Para resolver o problema de Optimização utiliza-se um método baseado na função
Lagrangiana. Utiliza-se um critério de óptimo (método heurístico) para actualizar as
variáveis de projecto obtendo-se o multiplicador de Lagrange por iteração [20].
O Lagrangiano para o problema de Optimização referido anteriormente é definido
por
∑ ∑ = =
−+−+−++= N
e
N
e
eeee λλf 1 1
max3min2 T 10 )()()()V-λ(VCL xxxxFKuλ , (2.8)
onde λ e 1λ são os multiplicadores de Lagrange globais e e 2λ e
e 3λ são os
multiplicadores de Lagrange para as restrições laterais inferior e superior. Os
multiplicadores de Lagrange λ , e2λ e e 3λ são escalares e o multiplicador de Lagrange 1λ
é um vector.
O óptimo é encontrado quando as derivadas da função Lagrangiana com respeito
às variáveis de projecto são iguais a zero, de acordo com:
Ne x L e
,1para,0 ==∂ ∂ .
Ou seja,
0)( 32 T 1 =+−∂ ∂+∂
∂+∂ ∂=∂
∂ ee eeee
λλ x Ku
x V
λ x C
x L
λ . (2.9)

2. Modelação Matemática 28
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
Assumindo que as restrições laterais inferior e superior não estão activas ( eλ2 = eλ3 =0) e
que os carregamentos são independentes do projecto 0=∂ ∂
x F , a equação 2.9 toma a
forma
)(T1 eeeeee x u
x K
x u
x K
xx L
∂ ∂+∂
∂++∂ ∂+∂
∂+∂ ∂=∂
∂ KuλλvKuuuKuu eTT T
. (2.10)
Simplificando a expressão anterior, obtém-se
eTT λvKλKuuλuu ++∂ ∂+∂
∂+∂ ∂=∂
∂ )2( T1T1 eeee x u
x K
x K
x L (2.11)
Visto que T1λ é arbitrário, pode seleccionar-se de forma a eliminar as derivadas ex u
∂ ∂ .
Então, coloca-se T1λ igual a Tu2− e obtém-se que KλKuT T12 + é igual a zero. Logo
0)()( 11 =+−=+−=+∂ ∂−=∂
∂ −− ee 0
eeT λvλvuKuλvuu c peepe
ee qxpxpx K
x L (2.12)
onde
eecq uKu 0= , (2.13)
é a energia para um elemento sólido, com 1=ex . Pode-se agora actualizar as variáveis de projecto, com base na equação 2.10:
1 )( 1 =
− eλv
c pe qxp
. (2.14)
O significado físico da equação 2.12 é que a densidade da energia de deformação
deve ser constante ao longo do domínio do projecto. O multiplicador de Lagrange λ tem
uma função reguladora de forma a que a densidade da energia de deformação se torne
constante. Deste modo, pode utilizar-se um esquema heurístico para actualizar as
variáveis de projecto. A actualização das variáveis de projecto pode ser definida por
ζζ )() )(
( 1
1 e K
e K
c pe
e K
e K Bx
qxp xx ==
− + eλv
(2.15)
onde ζ é um amortecimento numérico, normalmente igual a 0.5, e K o número de iterações. O amortecimento pode variar de 0 a 1. A função do amortecimento é estabilizar
a iteração.
Não se pode permitir que haja a possibilidade de que a densidade relativa varie
muito numa iteração como, por exemplo, o elemento variar desde o vazio ao sólido.
Então introduz-se um limite móvel nas variáveis de projecto. O objectivo do limite móvel é
também estabilizar a iteração. No esquema de actualização, tomam-se os limites móveis
das variáveis de projecto x em consideração:

2. Modelação Matemática 29
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬ ⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨ ⎧
+≥+ +≤≤−
−≤− =+
),)1min(()(se),)1min((
),)1min(()(),)1max((se)(
),)1max(()(se),)1max((
maxmax
maxmin
minmin
1
xxmBxxxm
xxmBxxxmBx
xxmBxxxm
x e K
e K
e K
e K
e K
e K
e K
e K
e K
e K
e K
e K
e K
e K
e K
ζ
ζζ
ζ
(2.16)
onde m é o limite móvel. O limite móvel pode variar de 0 a 1, mas na maioria dos casos
m =0.2.
O multiplicador de Lagrange deve também satisfazer a restrição de volume. Pode-
se agora actualizar o multiplicador de Lagrange de forma iterativa de maneira a verificar-
se
0))(()g( 0 =−= fVxV λλ . (2.17) Note que a função )g(λ tem uma dependência monótona de decréscimo contínua
do multiplicador de Lagrange. Deste modo, pode utilizar-se o método de bissecção para
determinar quando a função toma o valor nulo.
O tipo de algoritmo que se descreve tem sido utilizado com resultados satisfatórios
num grande número de problemas de design de topologia de estruturas, e é visto como
um método estável e eficiente na resolução de uma grande variedade de problemas. A
eficiência do algoritmo advém do facto de que cada variável de projecto é actualizada
independentemente da actualização das outras variáveis. Posteriormente, de modo a
satisfazer o constrangimento de volume, é feito um escalonamento relativo da
actualização das variáveis de projecto de acordo com a equação 2.15.


2.4. Teoria dos Elementos Finitos
A realização de uma análise numérica utilizando o método dos elementos finitos é
essencialmente um meio aproximado de determinar o comportamento de um sistema
real. Consegue-se levar a cabo esta tarefa calculando a solução algébrica de um
conjunto finito de equações que descrevem o sistema real, recorrendo apenas a um
número limitado de variáveis. O sistema real é modelado por um conjunto de elementos
delimitados por uma rede de pontos, linhas, superfícies e volumes – a malha de
elementos finitos. Cada elemento fica completamente definido pelas suas características
geométricas, pelas propriedades do material de que é constituído e por um conjunto de
parâmetros e leis matemáticas que regulam o seu comportamento. O comportamento de
cada elemento relativamente aos elementos adjacentes é descrito pelos carregamentos e
deslocamentos a que está sujeito. Estes deslocamentos são também função de um

2. Modelação Matemática 30
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
número finito de variáveis definidas em pontos convenientes da malha de elementos
finitos. O comportamento do sistema completo é então calculado após agregação do
comportamento individual de cada elemento. O estado no interior de um elemento
genérico é calculado a partir dos valores determinados num número finito de pontos – os
seus nós – ou na sua fronteira [29].
Os elementos finitos podem ter várias formas geométricas, conforme observa-se na
figura 2.3. Se forem bidimensionais são frequentemente quadriláteros ou triângulos. A
três dimensões são geralmente hexaédricos, tetraédricos ou pentaédricos.











Do ponto de vista de um analista, que utiliza um programa de simulação pelo
método dos elementos finitos, existem três fases distintas:

1. Pré-Processamento: diz respeito à construção do modelo geométrico e
discretização do sistema a estudar e definição dos carregamentos e condições a
que este será submetido. Esta informação, sobre o estudo a realizar, é introduzida
num ou mais ficheiros de dados de entrada.

2. Análise: corresponde ao momento em que todos os cálculos são efectuados.
Inicialmente verifica-se toda a informação contida no ficheiro de dados de entrada.
Não existindo erros, a análise numérica é levada a cabo e são criados ficheiros de
saída contendo toda a informação e resultados requeridos pelo utilizador.

3. Pós-Processamento: apresenta-se toda a informação dos resultados de diferentes
formas gráficas e/ou tabulares.

Figura 2.3: Algumas formas geométricas possíveis para elementos finitos: (a) unidimensionais, (b) bidimensionais e (c) tridimensionais [28]
(a) (b) (c)

2. Modelação Matemática 31
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2.4.1. Equações de Equilíbrio e Condições de Fronteira
O sistema que se pretende estudar numericamente é um corpo sólido deformável
que ocupa um espaço físico designado por Ω delimitado exteriormente pela superfície Σ. Este encontra-se representado de forma esquemática na figura 2.4.
Em termos gerais supõe-se que no instante de tempo t o corpo Ω está submetido a um conjunto de carregamentos exteriores de ordem diversa – forças volúmicas, forças de
superfície, forças devidas a gradientes e variações de temperatura, entre outras.










Admite-se ainda existir um conjunto finito de superfícies Σi pertencentes a Σ e no exterior de Ω, tais que iΣ∪=Σ , e nas quais são conhecidos o campo de velocidades v e/ou os carregamentos. Desta forma, é possível formular matematicamente o estado de
equilíbrio de Ω do seguinte modo: 0bσ =+div em Ω. (2.18)

Na equação de equilíbrio anterior σ é o tensor das tensões de Cauchy, b é o vector das forças exteriores por unidade de volume que inclui a possibilidade de efeitos de
aceleração e div designa o operador matemático divergente.
As condições de fronteira a que o sólido deformável Ω está sujeito também podem ser resumidas matematicamente da seguinte forma:
∗= vv sobre Σv, (2.19) ∗= tt sobre Σt, (2.20) ∗= vv ∧ ∗= tt sobre Σv,t. (2.21)

Figura 2.4: Representação esquemática do corpo sólido deformável Ω com a fronteira exterior Σ
Ω Σi
Σ

2. Modelação Matemática 32
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Nas expressões anteriores, v e v* designam os campos de velocidade genérica e prescrita, respectivamente, e t e t* os vectores de tensão de Cauchy genérico e prescrito,
respectivamente. Se n for o vector unitário da normal exterior à superfície Σ em qualquer ponto, então
σnt = . (2.22) A reunião de todas as zonas de fronteira Σ em que existem velocidades prescritas é
Σv, Σt é a reunião de todas as zonas da fronteira Σ em que existem forças prescritas e Σv,t é a reunião das zonas de Σ em que são conhecidos simultaneamente os campos de velocidades e de tensões [29].


2.5. Modelo de Comportamento Elástico
Para um determinado estado de tensão definido pelas componentes σxx, τxy, τxz, etc., é possível determinar as componentes de deformação em qualquer uma das direcções
do sistema de eixos Oxyz. Para tal basta sobrepor, ou seja, somar, as componentes de
deformação nessa direcção provocadas por cada uma das componentes individuais de
tensão [28]. Por exemplo, de acordo com a lei de Hooke, a tensão normal σxx produz uma deformação de magnitude
E xxσ
na direcção do eixo Ox. Por sua vez, as componentes σyy e σzz produzem deformações de magnitude
E yyνσ− e
E zzνσ− ,
também na direcção de Ox. Nas quantidades anteriores, E é o módulo de elasticidade ou
módulo de Young do material e ν o coeficiente de Poisson. Assim, sobrepondo as três componentes resulta que
)( zzyy xx
xx EE σσνσε +−= . (2.23)
Procedendo de modo idêntico para εyy e εzz resulta )( zzxx
yy yy EE
σσνσε +−= (2.24)
)( yyxx zz
zz EE σσνσε +−= . (2.25)

2. Modelação Matemática 33
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Por outro lado, as deformações de corte são dadas por
G xy
xy τγ = , (2.26)
G xz
xz τγ = , (2.27)
G yz
yz τγ = , (2.28)
em que G é o módulo de corte ou de rigidez do material, igual a
)1(2 ν+=
EG . (2.29)


2.5.1. Tensão e Deformação Planas
Quando uma placa fina é submetida a um conjunto de carregamentos no seu
próprio plano, diz-se que se está na presença de um estado de tensão plana [28].
Considerando que a direcção normal ao plano da referida placa é o eixo Oz então, nesta
situação,
0=== yzxzzz ττσ . (2.30) Por outro lado, num estado de deformação plana, as componentes de deformação
na direcção do eixo Oz são nulas, ou seja
0=== yzxzzz γγε . (2.31) No entanto, para que esta condição se mantenha, tem que existir a componente de
tensão σzz. Regressando às condições de tensão plana, em geral existem deformações na direcção normal à placa, causadas pelo efeito de Poisson. Consequentemente,
introduzindo as igualdades 2.18 nas relações 2.11, 2.12, 2.15 e 2.16, as componentes de
deformação resultam
EE
yyxx xx
νσσε −= (2.32)
EE yyxx
yy σνσε +−= (2.33)
Exyxy
)1(2 ντγ += . (2.34) Reescrevendo as relações anteriores em função das componentes de tensão fica

2. Modelação Matemática 34
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)( 1 2 yyxxxx
E νεενσ +−= (2.35)
)( 1 2 yyxxyy
E ενενσ +−= (2.36)
xyxy E γντ )1(2 += . (2.37)
De forma matricial pode escrever-se
⎪⎭
⎪⎬ ⎫
⎪⎩
⎪⎨ ⎧
⎥⎥ ⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢ ⎢⎢
⎣
⎡
−−=⎪⎭
⎪⎬ ⎫
⎪⎩
⎪⎨ ⎧
xy
yy
xx
xy
yy
xx E
γ ε ε
νν ν
ντ σ σ
2 100
01 01
1 2 (2.38)
ou ainda
εTPDσ = (2.39) em que DTP é a matriz de elasticidade para o caso de tensão plana.
Note-se, no entanto, que num estado de tensão plana tem-se também que
)( yyxxzz E σσνε −= . (2.40)
Relativamente ao estado de deformação plana, introduzindo as igualdades 2.19 nas
relações 2.13, 2.15 e 2.16 obtêm-se
[ ])(1 zzyyxxxx E σσνσε +−= (2.41) [ ])(1 zzxxyyyy E σσνσε +−= (2.42) [ ])(10 yyxxzzE σσνσ +−= (2.43) xyxy E
τνγ )1(2 += . (2.44) Substituindo a equação 2.31 nas relações 2.29 e 2.30 e rearranjando os termos
pode escrever-se
[ ]yyxxxx E νεενννσ +−−+= )1()21)(1( (2.45) [ ]yyxxyy E εννεννσ )1()21)(1( −+−+= (2.46) xyxy
E γντ )1(2 += . (2.47)
As expressões anteriores podem agrupar-se de forma matricial do seguinte modo:

2. Modelação Matemática 35
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⎪⎭
⎪⎬ ⎫
⎪⎩
⎪⎨ ⎧
⎥⎥ ⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢ ⎢⎢
⎣
⎡
−− −
−+=⎪⎭
⎪⎬ ⎫
⎪⎩
⎪⎨ ⎧
xy
yy
xx
xy
yy
xx E
γ ε ε
ννν νν
νντ σ σ
2 2100
01 01
)21)(1( (2.48)
ou ainda
εDPDσ = (2.49) em que DDP é a matriz de elasticidade para o caso de deformação plana.
Note-se, no entanto, que num estado de deformação plana também se verifica a
equação 2.31, ou seja
)( yyxxzz σσνσ += . (2.50)

2.5.2. Caso Geral
Para o caso 3D, pode escrever-se de forma matricial

⎪⎪ ⎪⎪
⎭
⎪⎪ ⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪ ⎪⎪
⎩
⎪⎪ ⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢
⎣
⎡
− −
− −
− −
−+=
⎪⎪ ⎪⎪
⎭
⎪⎪ ⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪ ⎪⎪
⎩
⎪⎪ ⎪⎪
⎨
⎧
xy
xz
yz
zz
yy
xx
xy
xz
yz
zz
yy
xx
E
γ γ γ ε ε ε
ν ν
ν ννν
ννν ννν
νν
γ γ γ σ σ σ
)21( 2 100000
0)21( 2 10000
00)21( 2 1000
000)1( 000)1( 000)1(
)21)(1( (2.51)
ou ainda
εDσ = (2.52) em que D é a matriz de elasticidade para o caso tridimensional.









2. Modelação Matemática 36
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3. Metodologia e Implementação 37
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
Capítulo 3. Metodologia e Implementação

3.1. Introdução
No capítulo anterior introduziu-se a formulação matemática empregue nos
problemas de Optimização. Desta forma falou-se em como é feita a formulação de um
problema de Optimização Topológica. Apresentou-se de forma resumida a teoria dos
elementos finitos e os modelos de comportamento elástico.
Neste capítulo apresenta-se a metodologia e implementação utilizada na
Optimização Topológica e que foi utilizada na resolução dos diversos problemas ao longo
deste trabalho. Na secção 3.2. apresenta-se o algoritmo utilizado na resolução dos
problemas de Optimização Topológica e a sua implementação. Na secção 3.3.
apresenta-se como é resolvido numericamente um problema de Optimização Topológica,
com base na interacção entre a simulação e optimização. Na secção 3.4. apresentam-se
os problemas numéricos de implementação que podem ocorrer durante o processo de
Optimização Topológica e a sua resolução.


3.2. Algoritmo
Conforme descrito no capítulo 1, a resolução de um problema de Optimização
consiste em estabelecer um conjunto de equações necessárias de óptimo que devem ser
resolvidas através da utilização de um algoritmo adequado. Para o problema de
Optimização Topológica, as equações foram estabelecidas no capítulo 2. Nesta secção
apresenta-se o fluxograma e o diagrama do modelo computacional do processo de
optimização topológica de uma estrutura.
Na figura 3.1 pode observar-se o fluxograma do processo de optimização
topológica. Este processo inicializa-se com a leitura do modelo. De seguida efectua-se o
cálculo das matrizes de rigidez elementares e global, o vector das forças globais,
deslocamentos e forças internas. Para estes processos é utilizado o programa
ABAQUS®. Após estes cálculos faz-se a análise de sensibilidade. Esta análise, assim
como o cálculo de optimização (evolução das variáveis de projecto), é feita através do

3. Metodologia e Implementação 38
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programa TopF1. Se o processo convergir são apresentados os resultados para pós-
processamento que pode ser feito utilizando o programa ABAQUS® e GID®. Caso
contrário, uma nova iteração é começada.



Na figura 3.2 pode observar-se como é realizada a optimização, através de um
diagrama do modelo computacional de optimização topológica. Através dos valores dos
deslocamentos elementares, calcula-se a função objectivo e o vector das sensibilidades.


Figura 3.1: Fluxograma do processo de optimização topológica
1- O programa TopF foi desenvolvido no seio do GRIDS (Grupo de Investigação e
Desenvolvimento de Software de Simulação) da Universidade de Aveiro.

3. Metodologia e Implementação 39
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De seguida aplicam-se os filtros havendo desta forma a alteração da sensibilidade de
cada elemento (ver secção 3.4). É realizado o cálculo das novas variáveis e verificado o
constrangimento de volume. Se o constrangimento do volume for verificado termina o
processo de optimização. Caso contrário, calcula-se novo valor para o multiplicador de
Lagrange λ através do método da bissecção e este valor entra no cálculo das novas
variáveis repetindo-se nova iteração.

Figura 3.2: Diagrama do modelo computacional de optimização topológica
Cálculo das matrizes de rigidez elementares Ke e global K
Cálculo dos deslocamentos elementares ue
Cálculo da Função Objectivo C=FTu (eq. 2.4) e
do vector das sensibilidades ex C
∂ ∂

Cálculo das novas variáveis (eq. 2.15)
Aplicação de filtros. Alteração da sensibilidade de cada elemento (ver secção 3.4.2)
Verificação do constrangimento de volume
Evolução de λ (método da bissecção)
Optimização
Verifica-se
Sim
Não

3. Metodologia e Implementação 40
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3.3. Resolução de um Problema
Assim como na resolução de um problema pelo MEF, a resolução de um problema
de optimização topológica, de um modo geral, pode ser dividido em três etapas: pré-
processamento, processamento e pós-processamento.
O Pré-processamento envolve duas etapas. Na etapa 1 são definidos o espaço de
projecto, as condições de fronteira, informações sobre as propriedades do material, e a
aproximação do domínio por uma malha de elementos finitos. Todas estas informações
podem ser geradas através da interface gráfica de um pré-processador padrão. No nosso
caso foi utilizado o programa ABAQUS® CAE para efectuar este processo de modelação
do problema. Na etapa 2, o ABAQUS® CAE gera um arquivo de entrada de dados
(nomedoproblema.inp) para a próxima fase do projecto, o processamento. O arquivo de
entrada de dados (nomedoproblema.inp) contém todas as informações referentes às
propriedades do material e a malha de elementos finitos, tais como: número de
elementos, número de nós, coordenadas dos nós, conectividades e condições de
fronteira.
O Processamento é a fase onde vai desenvolver-se o processo de optimização
auxiliado por uma análise pelo método dos elementos finitos. Para esta tarefa utiliza-se o
programa de optimização TopF. O programa TopF utiliza um ficheiro denominado
TopF.globalData.txt de controlo dos parâmetros de cálculo. A leitura do ficheiro gerada
pelo ABAQUS® CAE, nomedoproblema.inp é também realizada pelo programa TOPF de
forma a obter todas as informações sobre a malha de elementos finitos e propriedades
dos materiais. No início do processo iterativo de optimização o programa TopF gera o
ficheiro DensAct.txt que contém a listagem das densidades iniciais para cada elemento. A
primeira etapa do processo iterativo consiste na execução de uma análise pelo método
dos elementos finitos recorrendo ao programa ABAQUS®. Este programa é executado
utilizando uma subrotina de utilizador UMAT [1] que tem a função de ler o ficheiro
DensAct.txt e de construir a matriz rigidez elementar isotrópica, considerando a
densidade de cada elemento (ver equação 2.5). O programa ABAQUS® escreve os
resultados dos deslocamentos elementares num ficheiro de extensão glc que é lido pelo
programa TopF. Após a obtenção de toda a informação necessária, são calculadas as
sensibilidades e novos valores de densidade relativa para cada elemento. O novo vector
das densidades relativas x é reescrito novamente no ficheiro DensAct.txt. Caso não haja convergência do processo, dá-se início a uma nova iteração após a escrita de alguns
resultados. Estas etapas estão representadas no esquema da figura 3.3.

3. Metodologia e Implementação 41
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Na fase de Pós-processamento é realizada a visualização/análise dos resultados do
arquivo de saída de dados. Esta fase é realizada recorrendo ao pós-processador padrão
GID®. Neste programa é possível a visualização, análise e tratamento dos resultados dos
ficheiros de saída de dados (result.opt.flavia.res e result.flavia.res).


3.4. Problemas de Implementação
A Optimização Topológica tem possibilitado diversos tipos de aplicações industriais.
No entanto, existem dificuldades na aplicação do método relacionadas com problemas
numéricos. De uma forma geral e segundo Bendsøe & Sigmund [4], podem-se dividir
Figura 3.3: Resolução de um problema de optimização de topologia pela metodologia implementada
TopF.globalData.txt
nomedoproblema.inp
Ficheiros de resultados
nomedoproblema.glc
DensAct.txt
ABAQUS
UMAT.for
ue
ue
TOPF

3. Metodologia e Implementação 42
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estes problemas numéricos em três categorias: dependência da malha, instabilidade de
tabuleiro “checkerboard” e mínimos locais.


3.4.1. Dependência da Malha
O problema de dependência da malha é caracterizado pelo facto que um problema
de optimização topológica com domínio e condições de fronteira constantes apresente
diferentes soluções conforme a discretização da malha de elementos finitos. Ou seja,
diferentes discretizações da malha de elementos finitos não geram qualitativamente a
mesma solução.
Espera-se que quanto mais refinada for a malha de elementos finitos, maior será a
nitidez da topologia óptima da estrutura. No entanto, as malhas mais refinadas geram
estruturas mais complexas, com topologias mais detalhadas e qualitativamente diferentes
de um modelo resultante de uma malha mais grosseira.
A dependência da malha ocorre devido à introdução de furos na estrutura sem
alteração do volume, o que gera normalmente um aumento na eficiência da estrutura. No
limite deste processo as variações estruturais apresentam um melhor aproveitamento de
material. Tais microestruturas são normalmente não isotrópicas e não podem ser
representadas pelas descrições de projecto de um material isotrópico. Isto faz com que o
conjunto admissível de projectos não seja fechado. Na implementação computacional
este efeito é visto como uma instabilidade numérica onde uma grande quantidade de
furos aparece quando uma malha refinada de elementos finitos é utilizada.
O problema de dependência da malha pode ser dividido em duas categorias,
conforme a sua origem. Pode ser uma manifestação numérica da não existência de
solução do problema, e resulta na obtenção de diferentes topologias à medida que se
aumenta a discretização da malha. Existe também a possibilidade do problema não
apresentar unicidade de solução, situação dependente das condições de fronteira
aplicadas ao problema.
Na figura 3.4 podemos observar o fenómeno da dependência da malha. O
refinamento da malha de elementos finitos deveria idealmente fornecer a mesma
topologia com uma maior definição do contorno. No entanto, a malha mais refinada
resultou numa estrutura mais complexa, o que cria uma dificuldade do ponto de vista do
fabrico.


3. Metodologia e Implementação 43
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado














Segundo Bahia [3] existem procedimentos para activar a independência do
refinamento da malha. A abordagem utilizada consiste em reduzir o espaço de projectos
admissíveis incorporando restrições globais ou locais na variação da densidade,
impedindo desta forma a geração de microestruturas ou estruturas mais detalhadas.
Outra técnica empregue para a obtenção da independência da malha consiste em
estender o espaço de projectos de tal forma que sejam aceites materiais de densidade
intermédia entre o vazio e o cheio (compósitos). No entanto, isto não é possível quando o
objectivo é a obtenção de projectos 0 – 1, ou seja, apenas constituídos por material sólido
(densidade 1) ou vazio (densidade 0). Ainda outras técnicas incluem a utilização de filtros
e algoritmos de controlo de perímetro [3].


3.4.2. Instabilidade de Tabuleiro “checkerboard”
O problema de instabilidade de tabuleiro, conhecido na literatura como
“checkerboard”, é caracterizado pelo aparecimento de regiões onde elementos com e
sem material (pretos e brancos) se alternam entre elementos vizinhos de modo a criar um
padrão similar a um tabuleiro de xadrez. Este efeito é indesejado pois não se configura
uma distribuição óptima de material. Este fenómeno aparece devido à discretização, ou
seja, à formulação (funções de interpolação) do elemento finito utilizado no processo de
optimização.
Malha de 240 x 40 elementos
Malha de 120 x 20 elementos
Figura 3.4: Exemplo do fenómeno de Dependência da Malha [27]

3. Metodologia e Implementação 44
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Segundo Stump [27], a causa do checkerboard pode ser apresentada de duas
formas. A explicação mais simples e directa é de que quando o campo de densidades
apresenta o padrão geométrico de um tabuleiro de xadrez, a rigidez dessa região é
artificialmente mais elevada que a rigidez de uma região homogénea, com mesmo
volume de material. Essa situação se acentua nos casos de carga que provocam
esforços de corte. A segunda forma de explicar o problema baseia-se no facto de que se
está a resolver um problema variacional misto, com o objectivo de determinar dois
campos físicos: o campo de deslocamentos e o campo de densidades.
Na figura 3.5 podemos observar o fenómeno da instabilidade de tabuleiro
“checkerboard”.








As instabilidades de tabuleiro podem ser minimizadas ou removidas com o uso das
mesmas técnicas descritas anteriormente. A remoção deste problema numérico ocorre
porque quando adiciona-se uma restrição geométrica que garante a existência de
solução (em termos de medida do contorno ou variação do gradiente), também obtém-se
uma convergência de elementos finitos, sendo a malha suficientemente fina para que não
ocorram instabilidades.
Segundo Lima [14], a maioria dos trabalhos sugere duas formas distintas para a
eliminação do “checkerboard” nos problemas de optimização topológica. Uma delas é
aumentar a ordem do elemento finito e a outra é utilizar métodos de filtragem ou de
controlo de gradientes.
Aumentar a ordem do elemento significa aumentar o número de nós do elemento
finito. Os elementos bidimensionais com 8 ou 9 nós possuem funções de interpolação
que representam melhor (aproximação mais refinada) o campo de deslocamentos no
elemento e, consequentemente, o campo de deformações. Então, a utilização de
elementos com maior número de nós permite reduzir o erro induzido aos termos de
deformação de corte no elemento, e portanto representar de forma menos “artificial” a
rigidez num arranjo de elementos finitos. Isto provavelmente explica a razão pela qual o
Figura 3.5: Exemplo do fenómeno da Instabilidade de Tabuleiro “Checkerboard” [27]

3. Metodologia e Implementação 45
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“checkerboard” não aparece quando se utiliza elementos finitos de alta ordem nos
problemas. Esta alternativa é cara devido ao alto custo computacional, pois a matriz de
rigidez do modelo do método dos elementos finitos torna-se demasiadamente grande à
medida que aumentamos o número de nós do elemento. Então, de um modo geral,
formas mais económicas são preferidas.
Uma outra alternativa muito utilizada é a introdução de métodos de controlo das
variáveis de projecto (densidades). Variações bruscas nos gradientes das variáveis de
projecto favorecem a formação do “checkerboard”. Sendo assim, a utilização de um
método de controlo sobre a variação espacial das variáveis de projecto evita esse
fenómeno, além de permitir um razoável controlo da complexidade da topologia obtida
pelo método de optimização topológica. A suavização da variação das variáveis de
projecto nos problemas de optimização topológica é feita através de restrições inseridas
na própria formulação do problema de optimização, ou através de métodos de filtragem.
Estes métodos de filtragem são mais utilizados devido à facilidade de implementação e
rapidez computacional, embora não garantam o controle efectivo da variação das
variáveis de projecto.
A sensibilidade da função objectivo é dada por
ee p
e e
xp x C uKu 0
T1)( −−=∂ ∂
. (3.1)
Com vista a garantir a existência de soluções nos problemas de optimização
topológica, devem ser introduzidas algumas restrições nos resultados. Aqui é usada uma
técnica de filtragem [23]. O filtro para independência da malha funciona através da
modificação da sensibilidade do elemento da seguinte forma
f f
N
f fN
f fe
fe x CxH
Hxx c
∂ ∂=∂
∂ ∑∑ = =
1
1
ˆ ˆ
1 . (3.2)
O operador de convolução (factor de ponderação) é definido como
),,(ˆ min fedistrHf −= { } ,,...,1,),(| min NerfedistNf =≤∈ (3.3)
onde o operador ),( fedist é definido como a distância entre o centro do elemento e e o
centro do elemento f, minr é o valor para o filtro (distância média dos elementos). Ao
seleccionar-se minr menor do que o tamanho do elemento, não se está a penalizar a
sensibilidade do elemento. O operador de convolução fHˆ é zero fora da área do filtro. O
operador de convolução decai linearmente com a distância do elemento f.

3. Metodologia e Implementação 46
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3.4.3. Mínimos Locais
A maioria dos problemas de projecto topológico é não convexo. A não convexidade
do problema leva à existência e à possibilidade de encontrarmos muitos mínimos locais.
Logo, podem obter-se diferentes soluções para o mesmo problema discretizado quando
são utilizadas diferentes estimativas iniciais para as variáveis e diferentes parâmetros do
algoritmo de optimização. Isto ocorre porque as provas de convergência dos algoritmos
funcionam para programação convexa, enquanto que para programação não convexa
apenas garante-se a convergência para pontos estacionários, que não são
necessariamente mínimos globais, conforme podemos observar na figura 3.6.













Os algoritmos de optimização global disponíveis são, na sua grande maioria,
incapazes de lidar com uma grande quantidade de variáveis de projectos, como é o caso
das variáveis de projecto de optimização topológica. Alguns autores sugerem a utilização
de “métodos de continuação” para garantir de certa forma uma convergência estável na
direcção de projectos fiáveis. A ideia dos métodos de continuação é mudar gradualmente
o problema de optimização de um problema convexo (artificial), que permite regiões de
densidade intermédia, para um problema de projecto original não convexo (problema 0 –
1) num determinado número de passos. Em cada passo o gradiente baseado no
algoritmo de optimização é usado até convergir, sendo este processo útil em vários tipos
de problemas.

Figura 3.6: Mínimos e Máximos de uma Função Objectivo

4. Aplicações, Resultados e Validação 47
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
Capítulo 4. Aplicações, Resultados e Validação

4.1. Introdução
Nos capítulos anteriores introduziu-se a formulação matemática, a metodologia e
implementação utilizadas em problemas de Optimização de Topologia.
Neste capítulo apresentam-se diversos exemplos que servem de teste e validação
da metodologia de resolução de problemas de optimização topológica. É estudada a
influência de parâmetros, tais como o coeficiente de controlo de perímetro rmin e o
coeficiente de penalização de densidades relativas intermédias p, no processo de
optimização.


4.2. Aplicações
4.2.1. Viga Bi-apoiada
Neste exemplo faz-se a análise de uma viga bi-apoiada. A figura 4.1 apresenta a
geometria, condições de fronteira e carregamento para este problema. A dimensão da
viga é 6x1 m. A força aplicada é P = 10 kN, o material tem um módulo de Young de
200GPa e coeficiente de Poisson de 0.3. No processo de optimização foram utilizadas
200 iterações e o constrangimento de volume é de 40% do volume total.
Na figura 4.2 podem observar-se os resultados da viga bi-apoiada após optimização
topológica.










Figura 4.1: Viga bi-apoiada: a) domínio completo; b) metade do domínio com condições de simetria
a)
b)
P
P

4. Aplicações, Resultados e Validação 48
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
m = 1350 ; p = 1 ; rmin = 0,0001 m = 1350 ; p = 1 ; rmin = 0,065 m = 1350 ; p = 1 ; rmin = 0,20
m = 1350 ; p = 2 ; rmin = 0,0001 m = 1350 ; p = 2 ; rmin = 0,065 m = 1350 ; p = 2 ; rmin = 0,20
m = 1350 ; p = 3 ; rmin = 0,0001 m = 1350 ; p = 3 ; rmin = 0,065 m = 1350 ; p = 3 ; rmin = 0,20
m = 2400 ; p = 1 ; rmin = 0,0001 m = 2400 ; p = 1 ; rmin = 0,050 m = 2400 ; p = 1 ; rmin = 0,20
m = 2400 ; p = 2 ; rmin = 0,0001 m = 2400 ; p = 2 ; rmin = 0,050 m = 2400 ; p = 2 ; rmin = 0,20
m = 2400 ; p = 3 ; rmin = 0,0001 m = 2400 ; p = 3 ; rmin = 0,050 m = 2400 ; p = 3 ; rmin = 0,20
m = 8600 ; p = 1 ; rmin = 0,0001 m = 8600 ; p = 1 ; rmin = 0,025 m = 8600 ; p = 1 ; rmin = 0,20
m = 8600 ; p = 2 ; rmin = 0,0001 m = 8600 ; p = 2 ; rmin = 0,025 m = 8600 ; p = 2 ; rmin = 0,20
m = 8600 ; p = 3 ; rmin = 0,0001 m = 8600 ; p = 3 ; rmin = 0,025 m = 8600 ; p = 3 ; rmin = 0,20
Figura 4.2: Resultados da viga bi-apoiada após optimização topológica. Somente é representado metade do domínio

4. Aplicações, Resultados e Validação 49
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
Conforme pode observar-se na figura 4.2, no processo de optimização topológica foram
realizados ensaios para:
- 3 malhas de elementos finitos (m): 1350, 2400 e 8600 elementos;
- 3 coeficientes de penalização de densidades relativas intermédias (p): 1, 2 e 3;
- 3 valores para o coeficiente de controlo de perímetro (rmin): 0,0001; rmin médio
consoante a malha de elementos finitos e 0,20. O rmin médio é a média da distância do
elemento aos elementos que estão na sua vizinhança.
Ao analisar os resultados do processo de optimização da figura 4.2 podem
observar-se alguns dos problemas de implementação referidos no capítulo 3.4. Na figura
4.3 pode observar-se o problema da dependência da malha. Ao aumentar a discretização
da malha obtém-se um elemento com estrutura mais complexa e com uma topologia mais
detalhada e qualitativamente diferente do modelo resultante de uma malha mais
grosseira. Assim podemos concluir que diferentes discretizações da malha de elementos
finitos não geram qualitativamente a mesma solução. Nem sempre uma malha mais
refinada gera uma topologia óptima da estrutura.

m = 1350 ; p = 2 ; rmin = 0,0001 m = 2400 ; p = 2 ; rmin = 0,0001 m = 8600 ; p = 2 ; rmin = 0,0001



Na figura 4.4 (assim como na figura 4.3) pode observar-se o problema da
instabilidade de tabuleiro “checkerboard”. No 1º caso vemos claramente regiões onde
elementos com e sem material (pretos e brancos) se alternam entre elementos vizinhos,
criando um padrão similar ao tabuleiro de xadrez. Ao utilizar-se um valor para o filtro de
controlo de perímetro (rmin) adequado, as zonas xadrez tendem a desaparecer. Este valor,
que é utilizado para evitar o problema do “checkerboard”, deve ser adequado a cada
situação e depende da malha utilizada. Se forem utilizados valores muito baixos pode
ocorrer “checkerboard”. Se forem utilizados valores muito altos influencia-se a solução do
problema de optimização, podendo não haver convergência do mesmo. Desta forma
deve-se analisar o tamanho dos elementos discretizados de forma a atribuir o valor
correcto para o filtro de controlo de perímetro (rmin), conforme já descrito na secção 3.4.2.

Figura 4.3: Variação da discretização da malha: Problema de dependência da malha

4. Aplicações, Resultados e Validação 50
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado



m = 2400 ; p = 3 ; rmin = 0,0001 m = 2400 ; p = 3 ; rmin = 0,050 m = 2400 ; p = 3 ; rmin = 0,20



Na figura 4.5 podem observar-se as diferentes topologias que resultam da variação
do coeficiente de penalização de densidades relativas intermédias (p) no processo de
optimização topológica. Para o caso onde p = 1 a solução contém grandes áreas cinza
(áreas com densidade intermédia) que não configuram uma topologia final aceitável. Ao
aumentar o coeficiente de penalidade para p = 2 obtém-se uma estrutura onde se
distinguem áreas pretas (com material) e brancas (sem material). Ao escolher-se o
coeficiente de penalidade p = 3 obtém-se uma solução final com regiões quase
inteiramente sólidas ou vazias. Se o coeficiente de penalidade for aumentado para
valores muito elevados a solução final irá degenerar devido à convergência prematura da
solução. Desta forma, as soluções encontradas mostram que variando o coeficiente de
penalidade vão-se obter estruturas com topologias bastante diferentes.

m = 8600 ; p = 1 ; rmin = 0,025 m = 8600 ; p = 2 ; rmin = 0,025 m = 8600 ; p = 3 ; rmin = 0,025



Na figura 4.6 pode observar-se como varia a função objectivo ao longo das
iterações. Ao analisar o gráfico pode verificar-se que nos diversos casos a função
objectivo converge. O coeficiente de penalização de densidades relativas intermédias (p)
provoca uma convergência para uma função objectivo de valor superior. Quanto maior é
a influência do filtro de controlo de perímetro (rmin) pior é o valor final da função objectivo.
Figura 4.5: Variação do coeficiente de penalidade das densidades relativas intermédias (p)
Figura 4.4: Variação do filtro de controlo de perímetro (rmin): Problema da Instabilidade de Tabuleiro “checkerboard”
Instabilidade de Tabuleiro “checkerboard”

4. Aplicações, Resultados e Validação 51
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
Na figura 4.7 pode observar-se como varia a densidade dos elementos ao longo das
iterações. Ao analisar o gráfico pode verificar-se que ao aumentar o coeficiente de
penalização de densidades relativas intermédias (p) existe maior oscilação na densidade
dos elementos. Isto ocorre pois ao introduzir-se um valor (p) passa-se de um sistema
linear para um sistema não linear onde a convergência é mais difícil (ver figura 2.2).

0,0900
0,1100
0,1300
0,1500
0,1700
0,1900
0,2100
0,2300
0,2500
0 50 100 150 200
N.º de Iterações
Fu nç
ão O
bj ec
tiv o
p = 1 ; rmin = 0,0001 p = 1 ; rmin = 0,050 p = 1 ; rmin = 0,20 p = 2 ; rmin = 0,0001 p = 2 ; rmin = 0,050 p = 2 ; rmin = 0,20 p = 3 ; rmin = 0,0001 p = 3 ; rmin = 0,050 p = 3 ; rmin = 0,20


0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 0,180 0,200
0 50 100 150 200
N.º de Iterações
De ns
id ad
e do
s el
em en
to s p = 1 ; rmin = 0,0001
p = 1 ; rmin = 0,050
p = 1 ; rmin = 0,20
p = 2 ; rmin = 0,0001
p = 2 ; rmin = 0,050
p = 2 ; rmin = 0,20
p = 3 ; rmin = 0,0001
p = 3 ; rmin = 0,050
p = 3 ; rmin = 0,20


Os resultados aqui obtidos foram os esperados e são similares a resultados
provenientes de literatura especializada. Pode observar-se este facto ao analisar os
resultados obtidos por Bendsøe e Sigmund [4], C. Pedersen e T. Buhl [20], entre outros.
Figura 4.6: Gráfico da variação da função objectivo com o número de iterações
Figura 4.7: Gráfico da variação da densidade dos elementos com o número de iterações

4. Aplicações, Resultados e Validação 52
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
4.2.2. Viga com Furo Fixo
Neste exemplo faz-se a análise de uma viga com um furo fixo. A figura 4.8
apresenta a geometria, condições de fronteira e carregamento para este problema. A
dimensão da viga é 3x2 m e o furo tem diâmetro de 1,2 m. A força aplicada é P = 5 kN, e
o material tem um módulo de Young de 200 GPa e coeficiente de Poisson de 0.3.










No processo de optimização foram utilizadas 100 iterações, um coeficiente de
penalidade das densidades relativas intermédias p = 3 e um valor para o filtro de controlo
de perímetro rmin = 0,045. A viga foi dividida numa malha de elementos finitos estruturada
contendo 11406 elementos. O constrangimento de volume é de 40% do volume total.
Na figura 4.9 pode observar-se a viga após o processo de optimização. Pode
constatar-se que na zona do furo não existe material, como seria de esperar, sendo este
distribuído ao redor do furo, dentro do domínio de projecto. A utilização de regiões
contendo furos é implementada de forma simples no processo de optimização topológica.
Os resultados aqui obtidos foram os esperados e são similares a resultados provenientes
de literatura especializada. Pode observar-se este facto ao analisar os resultados obtidos
por Bendsøe e Sigmund [4].







Figura 4.9: Viga com furo fixo após optimização
Figura 4.8: Viga com furo fixo: Geometria, carregamento e condições de fronteira
P

4. Aplicações, Resultados e Validação 53
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
4.2.3. Viga com Cargas Múltiplas
Neste exemplo faz-se a análise de uma viga com cargas múltiplas. A figura 4.10
apresenta a geometria, condições de fronteira e carregamento para este problema. A
dimensão da viga é 2x2 m. A força aplicada é P1 = P2 = 1 kN, e o material tem um módulo
de Young de 200 GPa e coeficiente de Poisson de 0.3.











No processo de optimização foram utilizadas 100 iterações, o coeficiente de
penalidade das densidades relativas intermédias p = 3 e o valor para o filtro de controlo
de perímetro rmin = 0,025. A viga foi dividida numa malha de elementos finitos estruturada
contendo 10000 elementos. O constrangimento de volume é de 40% do volume total.
Na figura 4.11 pode observar-se a viga após o processo de optimização. Pode
observar-se que o resultado final da topologia é diferente no caso de aplicar-se as forças
em simultâneo ou separadamente. Os resultados aqui obtidos foram os esperados e são
similares a resultados provenientes de literatura especializada. Pode observar-se este
facto ao analisar os resultados obtidos por Bendsøe e Sigmund [4].
a) b)

P1
P2
Figura 4.10: Viga com cargas múltiplas: Geometria, carregamento e condições de fronteira
Figura 4.11: a) Viga após optimização com cargas P1 e P2 aplicadas em simultâneo; b) Viga após optimização com cargas P1 e P2 aplicadas separadamente

4. Aplicações, Resultados e Validação 54
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
4.2.4. Estrutura Bi-constrangida
Neste exemplo faz-se a análise de uma estrutura bi-constrangida sujeita a cargas
múltiplas. A figura 4.12 apresenta a geometria, condições de fronteira e carregamento
para este problema. A dimensão da estrutura é 10x5 m. A força aplicada é P = 10 kN, e o
material tem um módulo de Young de 200 GPa e coeficiente de Poisson de 0.3.










No processo de optimização foram utilizadas 100 iterações e o constrangimento de
volume é de 40% do volume total. Foram realizados ensaios para:
- 3 malhas de elementos finitos (m): 416, 2600 e 10400 elementos;
- 3 coeficientes de penalidade das densidades relativas intermédias (p): 1, 2 e 3;
- 3 valores para o filtro de controlo de perímetro (rmin): 0,1; rmin médio consoante a
malha de elementos finitos e 50,0.

Na figura 4.13 podem observar-se os resultados da estrutura bi-constrangida após
optimização topológica. Ao analisar os resultados do processo de optimização na figura
4.13 podem observar-se alguns dos problemas de implementação referidos no capítulo
3.4.
Na figura 4.14 pode observar-se o problema da dependência da malha. Neste caso
ao aumentarmos a discretização da malha obtém-se um elemento com estrutura mais
detalhada do que com uma malha mais grosseira. Na figura 4.15 pode observar-se o
problema da instabilidade de tabuleiro “checkerboard”. No 1º caso vê-se claramente
regiões onde elementos com e sem material se alternam entre elementos vizinhos,
criando um padrão similar ao tabuleiro de xadrez. Ao utilizar-se um valor para o filtro de
controlo de perímetro (rmin) adequado, as zonas xadrez tendem a desaparecer.
P
P
Figura 4.12: Estrutura bi-constrangida: Geometria, carregamento e condições de fronteira

4. Aplicações, Resultados e Validação 55
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
m = 416 ; p = 1 ; rmin = 0,1
m = 416 ; p = 1 ; rmin = 33,0
m = 416 ; p = 1 ; rmin = 50,0
m = 416 ; p = 2 ; rmin = 0,1
m = 416 ; p = 2 ; rmin = 33,0
m = 416 ; p = 2 ; rmin = 50,0
m = 416 ; p = 3 ; rmin = 0,1
m = 416 ; p = 3 ; rmin = 33,0
m = 416 ; p = 3 ; rmin = 50,0
m = 2600 ; p = 1 ; rmin = 0,1
m = 2600 ; p = 1 ; rmin = 13,0
m = 2600 ; p = 1 ; rmin = 50,0
m = 2600 ; p = 2 ; rmin = 0,1
m = 2600 ; p = 2 ; rmin = 13,0
m = 2600 ; p = 2 ; rmin = 50,0
m = 2600 ; p = 3 ; rmin = 0,1
m = 2600 ; p = 3 ; rmin = 13,0
m = 2600 ; p = 3 ; rmin = 50,0
m = 10400 ; p = 1 ; rmin = 0,1
m = 10400 ; p = 1 ; rmin = 6,50
m = 10400 ; p = 1 ; rmin = 50,0
m = 10400 ; p = 2 ; rmin = 0,1
m = 10400 ; p = 2 ; rmin = 6,50
m = 10400 ; p = 2 ; rmin = 50,0
m = 10400 ; p = 3 ; rmin = 0,1
m = 10400 ; p = 3 ; rmin = 6,50
m = 10400 ; p = 3 ; rmin = 50,0
Figura 4.13: Resultados da estrutura bi-constrangida após optimização topológica

4. Aplicações, Resultados e Validação 56
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado

m = 416 ; p = 2 ; rmin = 0,1
m = 2600 ; p = 2 ; rmin = 0,1
m = 10400 ; p = 2 ; rmin = 0,1





m = 2600 ; p = 2 ; rmin = 0,1
m = 2600 ; p = 2 ; rmin = 13,0
m = 2600 ; p = 2 ; rmin = 50,0



Na figura 4.16 podem observar-se as diferentes topologias que resultam da
variação do coeficiente de penalidade das densidades relativas intermédias (p) no
processo de optimização topológica. Para o caso onde p = 1 a solução contém grandes
áreas com densidade intermédia que não configuram uma topologia final aceitável. Ao
aumentar o coeficiente de penalidade essas áreas intermédias vão diminuindo, tornando
mais clara a topologia final da estrutura.

m = 10400 ; p = 1 ; rmin = 6,50
m = 10400 ; p = 2 ; rmin = 6,50
m = 10400 ; p = 3 ; rmin = 6,50



Os resultados aqui obtidos estão coerentes com os resultados provenientes de
literatura especializada como, por exemplo, [4].



Figura 4.14: Variação da discretização da malha: Problema de dependência da malha
Figura 4.16: Variação do coeficiente de penalidade das densidades relativas intermédias (p)
Figura 4.15: Variação do filtro de controlo de perímetro (rmin): Problema da Instabilidade de Tabuleiro “checkerboard”
Instabilidade de Tabuleiro “checkerboard”

4. Aplicações, Resultados e Validação 57
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
4.2.5. Viga Encastrada Tridimensional
Neste exemplo faz-se a análise de uma viga encastrada tridimensional. A figura
4.17 apresenta a geometria, condições de fronteira e carregamento para este problema.
As dimensões da viga são 1,6x1,0x0,8 m. A força aplicada é P = 10 kN, e o material tem
um módulo de Young de 200 GPa e coeficiente de Poisson de 0.3.











No processo de optimização foram utilizadas 200 iterações, o coeficiente de
penalidade das densidades relativas intermédias p = 1, 3 e 5, e o valor para o filtro de
controlo de perímetro rmin = 0,00001 e 0,075. O modelo de elementos finitos para este
exemplo consiste em 16000 elementos sólidos isoparamétricos de 8 nós. No entanto,
devido à simetria do problema analisou-se apenas metade da estrutura, sendo a viga
dividida numa malha de elementos finitos contendo apenas 8000 elementos. O
constrangimento de volume é de 20% do volume total.
Na figura 4.18 podem observar-se os resultados da viga encastrada tridimensional
após optimização topológica. Na figura 4.19 podem observar-se as diferentes topologias
que resultam da variação do coeficiente de penalidade das densidades relativas
intermédias (p) no processo de optimização topológica. Para o caso onde p = 1 a solução
contém grandes áreas com densidade intermédia que não configuram uma topologia final
aceitável. Ao aumentarmos o coeficiente de penalidade essas áreas intermédias vão
diminuindo, tornando mais clara a topologia final da estrutura.
Na figura 4.20 podem observar-se as diferentes topologias que resultam da
variação do filtro de controlo de perímetro (rmin) no processo de optimização topológica.
Este filtro é utilizado para evitar o aparecimento de zonas xadrez (com e sem material).
Figura 4.17: Viga Encastrada Tridimensional: Geometria, carregamento e condições de fronteira
P

4. Aplicações, Resultados e Validação 58
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
a) p = 1 ; rmin = 0,00001
b) p = 3 ; rmin = 0,00001
c) p = 5 ; rmin = 0,00001
d) p = 3 ; rmin = 0,075
e) p = 5 ; rmin = 0,075
Figura 4.18: Resultados da viga encastrada tridimensional após optimização topológica: à esquerda as vistas centrais da estrutura; ao centro as vistas posteriores da estrutura; à direita as vistas centrais da estrutura suavizada (estrutura obtida através de interpolação entre os nós)
a) a) a)
b) b) b)
c) c) c)
d) d) d)
e) e) e)

4. Aplicações, Resultados e Validação 59
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
a) p = 1 ; rmin = 0,00001 b) p = 3 ; rmin = 0,00001 c) p = 5 ; rmin = 0,00001



a) p = 3 ; rmin = 0,00001 b) p = 3 ; rmin = 0,075
c) p = 5 ; rmin = 0,00001 d) p = 5 ; rmin = 0,075



Quando não se considera o controlo de perímetro nem a penalização das
densidades relativas intermédias, a topologia final apresenta uma grande quantidade de
material intermédio. Quando a penalização das densidades relativas intermédias é
introduzida este material intermédio é praticamente eliminado, surgindo uma estrutura
bem definida. Quando se introduz o filtro de controlo de perímetro aparecem na estrutura
zonas com densidades relativas intermédias, o que indica que o valor para o (rmin) não foi
o mais adequado para este caso. Normalmente a combinação entre (p) e (rmin)
adequados permitem eliminar tanto o material intermédio como as zonas de xadrez.
Na figura 4.21 pode observar-se como varia a função objectivo ao longo das
iterações. Ao analisar o gráfico pode verificar-se que nos diversos casos a função
Figura 4.19: Variação do coeficiente de penalidade das densidades relativas intermédias (p)
Figura 4.20: Variação do filtro de controlo de perímetro (rmin)
a) b) c)
a) b)
c) d)

4. Aplicações, Resultados e Validação 60
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
objectivo converge. O coeficiente de penalização de densidades relativas intermédias (p)
provoca uma convergência para uma função objectivo de valor superior.
Na figura 4.22 pode observar-se como varia a densidade dos elementos ao longo
das iterações. Ao analisar o gráfico pode verificar-se que ao aumentar o coeficiente de
penalização de densidades relativas intermédias (p) existe maior oscilação na densidade
dos elementos.

0,0000
0,2500
0,5000
0,7500
1,0000
0 25 50 75 100
N.º de Iterações
Fu nç
ão O
bj ec
tiv o p = 1 ; rmin = 0,00001
p = 3 ; rmin = 0,00001
p = 5 ; rmin = 0,00001
p = 3 ; rmin = 0,075
p = 5 ; rmin = 0,075


0,000
0,020
0,040
0,060
0,080
0,100
0,120
0,140
0,160
0,180
0,200
0 25 50 75 100 N.º de Iterações
D en
si da
de d
os e
le m
en to
s
p = 1 ; rmin = 0,00001
p = 3 ; rmin = 0,00001
p = 5 ; rmin = 0,00001 p = 3 ; rmin = 0,075
p = 5 ; rmin = 0,075


Os resultados aqui obtidos foram comparados com os resultados provenientes de
literatura especializada. Pode observar-se este facto ao analisar os resultados obtidos por
P. Fernandes [9].
Figura 4.21: Gráfico da variação da função objectivo com o número de iterações
Figura 4.22: Gráfico da variação da densidade dos elementos com o número de iterações

4. Aplicações, Resultados e Validação 61
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
4.2.6. Placa Tridimensional
Neste exemplo faz-se a análise de uma placa tridimensional. A figura 4.23
apresenta a geometria, condições de fronteira e carregamento para este problema. As
dimensões da placa são 8,0x5,0x0,75 m. A força aplicada é P = 180 kN, e o material tem
um módulo de Young de 210 GPa e coeficiente de Poisson de 0.3.











No processo de optimização foram utilizadas 200 iterações, o coeficiente de
penalidade das densidades relativas intermédias p = 1, 3 e 5, e o valor para o filtro de
controlo de perímetro rmin = 0,0001 e 0,40. O modelo de elementos finitos para este
exemplo consiste em 3840 elementos sólidos isoparamétricos de 8 nós. No entanto,
devido à simetria do problema, analisou-se apenas metade da estrutura, sendo a placa
dividida numa malha de elementos finitos contendo apenas 1920 elementos. O
constrangimento de volume é de 25% do volume total.
Na figura 4.24 podem observar-se os resultados da placa tridimensional após
optimização topológica. Na figura 4.25 podem observar-se as diferentes topologias que
resultam da variação do coeficiente de penalidade das densidades relativas intermédias
(p) no processo de optimização topológica. Para o caso onde p = 1 a solução contém
grandes áreas com densidade intermédia que não configuram uma boa topologia final. Ao
aumentarmos o coeficiente de penalidade essas áreas intermédias vão diminuindo,
tornando mais clara a topologia final da estrutura.
Na figura 4.26 podem observar-se as diferentes topologias que resultam da
variação do filtro de controlo de perímetro (rmin) no processo de optimização topológica.
Conforme já referido anteriormente, este filtro é utilizado para evitar o aparecimento de
zonas xadrez (com e sem material).
Figura 4.23: Placa Tridimensional: Geometria, carregamento e condições de fronteira
P

4. Aplicações, Resultados e Validação 62
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
a) p = 1 ; rmin = 0,0001
b) p = 3 ; rmin = 0,0001
c) p = 5 ; rmin = 0,0001

d) p = 3 ; rmin = 0,40

e) p = 5 ; rmin = 0,40 Figura 4.24: Resultados da placa tridimensional após optimização topológica: na coluna da
esquerda podem observar-se as vistas centrais da estrutura com representação dos elementos; na coluna do centro as vistas de baixo da estrutura com representação dos elementos; na coluna da direita as vistas centrais da estrutura com interpolação entre os nós
a) a) a)
b) b) b)
c) c) c)
d) d) d)
e) e) e)

4. Aplicações, Resultados e Validação 63
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
a) p = 1 ; rmin = 0,0001 b) p = 3 ; rmin = 0,0001 c) p = 5 ; rmin = 0,0001



a) p = 3 ; rmin = 0,0001 b) p = 3 ; rmin = 0,40
c) p = 5 ; rmin = 0,0001 d) p = 5 ; rmin = 0,40



Neste exemplo, pode mais uma vez verificar-se o efeito da penalização das
densidades relativas intermédias no controlo das zonas de material intermédio. A
introdução do filtro de controlo de perímetro induz o aparecimento de zonas com
densidades relativas intermédias, o que indica que o valor para o (rmin) não foi o mais
adequado para este caso. Normalmente a combinação entre (p) e (rmin) adequados
permitem eliminar tanto o material intermédio como as zonas de xadrez.
Mais uma vez, os resultados aqui obtidos foram comparados a resultados
provenientes de literatura especializada, [9].

Figura 4.25: Variação do coeficiente de penalidade das densidades relativas intermédias (p)
Figura 4.26: Variação do filtro de controlo de perímetro (rmin)
a) b) c)
a) b)
c) d)

4. Aplicações, Resultados e Validação 64
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
4.2.7. Bloco Tridimensional
Neste exemplo faz-se a análise de um bloco tridimensional. A figura 4.27 apresenta
a geometria, condições de fronteira e carregamento para este problema. As dimensões
do bloco são 0,96x0,96x0,48 m. Consideraram-se dois carregamentos, P1 = 1 MPa sobre
uma área de 1,44x10-2 m2 e P2 = 1,4 MPa sobre 4 áreas de 0,36x10-2 m2 dispostas de
forma simétrica. O material tem um módulo de Young de 210 GPa e coeficiente de
Poisson de 0.3.












No processo de optimização foram utilizadas 100 iterações, o coeficiente de
penalidade das densidades relativas intermédias p = 1 e 3, e o valor para o filtro de
controlo de perímetro rmin = 0,001 e 0,05. O modelo de elementos finitos para este
exemplo consiste em 16384 elementos sólidos isoparamétricos de 8 nós. No entanto,
devido à simetria do problema, analisou-se apenas um quarto do domínio da estrutura,
sendo o bloco dividido numa malha de elementos finitos contendo 4096 elementos. O
constrangimento de volume é de 12,5% do volume total.
Na figura 4.28 podem observar-se os resultados do bloco tridimensional após
optimização topológica para as cargas P1, P2. Na figura 4.29 podem observar-se os
resultados do bloco tridimensional após optimização topológica para um critério de cargas
múltiplas.
Os resultados mostram novamente que a solução obtida sem considerar
penalização das densidades intermédias apresenta grande quantidade de material
intermédio. Desta forma, ao aumentarmos o coeficiente de penalidade essas áreas
intermédias vão diminuindo, tornando mais clara a topologia final da estrutura.
Figura 4.27: Bloco Tridimensional: Geometria, carregamento e condições de fronteira
P1
P2

4. Aplicações, Resultados e Validação 65
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
a) Carga P1 ; p = 1 ; rmin = 0,001
b) Carga P1 ; p = 3 ; rmin = 0,05
c) Carga P2 ; p = 1 ; rmin = 0,001
d) Carga P2 ; p = 3 ; rmin = 0,05

Figura 4.28: Resultados do bloco tridimensional após optimização topológica para as cargas P1 e P2: na coluna da esquerda podem observar-se as vistas centrais da estrutura com representação dos elementos; na coluna da direita podem observar-se as vistas centrais da estrutura com interpolação entre os nós
a) a)
b) b)
c) c)
d) d)

4. Aplicações, Resultados e Validação 66
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
a) Cargas P1 e P2 aplicadas em critério de cargas múltiplas; p = 1 ; rmin = 0,001
b) Cargas P1 e P2 aplicadas em critério de cargas múltiplas; p = 3 ; rmin = 0,05





Este exemplo ilustra também a influência de se considerar um critério de cargas
múltiplas. Verifica-se, ao utilizar este critério, que a solução obtida pelo modelo de
optimização é uma solução de compromisso entre as soluções óptimas de cada caso de
carga, quando considerados a actuar isoladamente. A utilização do critério de cargas
múltiplas é fundamental no projecto de estruturas reais, pois normalmente as estruturas
estão sujeitas a diferentes tipos de carregamento durante fases diferentes da sua vida.
Com esta análise podemos estudar variadas estruturas sujeitas a diversos tipos de
carregamento e verificar o comportamento destas às diversas solicitações a que estão
sujeitas.
Na figura 4.30 pode observar-se como varia a função objectivo ao longo das
iterações. Ao analisar o gráfico pode verificar-se que nos diversos casos a função
objectivo converge. O coeficiente de penalização de densidades relativas intermédias (p)
provoca uma convergência para uma função objectivo de valor superior. No caso das
Figura 4.29: Resultados do bloco tridimensional após optimização topológica para as cargas P1 e P2 aplicadas em critério de cargas múltiplas: na coluna da esquerda podem-se observar as vistas centrais da estrutura; na coluna da direita podem observar-se as vistas centrais da estrutura suavizada
a) a)
b) b)

4. Aplicações, Resultados e Validação 67
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
cargas múltiplas o valor é superior às cargas separadas, visto a função objectivo ser a
soma das duas cargas.
Na figura 4.31 pode observar-se como varia a densidade dos elementos ao longo
das iterações.

0,0000
0,0100
0,0200
0,0300
0,0400
0,0500
0,0600
0,0700
0,0800
0,0900
0,1000
0 25 50 75 100
N.º de Iterações
Fu nç
ão O
bj ec
tiv o
P1 ; p = 1 ; rmin = 0,001
P1 ; p = 3 ; rmin = 0,05
P2 ; p = 1 ; rmin = 0,001
P2 ; p = 3 ; rmin = 0,05
P1 e P2; p = 1 ; rmin = 0,001
P1 e P2; p = 3 ; rmin = 0,05


0,0000
0,0200
0,0400
0,0600
0,0800
0,1000
0,1200
0,1400
0,1600
0,1800
0,2000
0 25 50 75 100
N.º de Iterações
D en
si da
de d
os e
le m
en to
s
P1 ; p = 1 ; rmin = 0,001
P1 ; p = 3 ; rmin = 0,05
P2 ; p = 1 ; rmin = 0,001
P2 ; p = 3 ; rmin = 0,05
P1 e P2; p = 1 ; rmin = 0,001
P1 e P2; p = 3 ; rmin = 0,05


Os resultados aqui obtidos foram os esperados e são similares a resultados
provenientes de literatura especializada, [9].
Figura 4.30: Gráfico da variação da função objectivo com o número de iterações
Figura 4.31: Gráfico da variação da densidade dos elementos com o número de iterações

4. Aplicações, Resultados e Validação 68
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
4.2.8. Suporte Cilíndrico
Neste exemplo modela-se a união de um bloco material a um suporte cilíndrico. A
figura 4.32 apresenta a geometria, condições de fronteira e carregamento para este
problema. As dimensões do bloco são 130x100x60 mm e o suporte cilíndrico tem
diâmetro de ∅20 mm. O suporte cilíndrico é de aço, (módulo de Young de 210 GPa e coeficiente de Poisson de 0.3). O bloco é constituído por um material de base com
propriedades idênticas ao aço. A carga aplicada no bloco tem o valor P = ± 2 kN.












No processo de optimização foram utilizadas 100 iterações, o coeficiente de
penalidade das densidades relativas intermédias p = 1 e 2, e o valor para o filtro de
controlo de perímetro rmin = 0,001 e 0,004. Ambos os corpos são deformáveis, mas
apenas o bloco é domínio de projecto. Por questões de modelação de elementos finitos o
suporte cilíndrico é oco no seu interior, estando este fixo na sua superfície interior. Devido
às condições de simetria apenas metade do conjunto, bloco – suporte, é modelado por
elementos finitos. São utilizados 13812 elementos (11340 elementos de projecto). Os
casos analisados consideram condição de contacto sem atrito entre o bloco e o suporte
cilíndrico. O constrangimento de volume é de 15% do volume total.
Na figura 4.33 podem observar-se os resultados do bloco material após optimização
topológica para a carga P1. Na figura 4.34 podem observar-se os resultados do bloco
material após optimização topológica para um critério de cargas múltiplas, em que se
considera, para além da carga P1, uma carga P2 de direcção e magnitude igual a P1, mas
de sentido oposto.
Figura 4.32: a) Bloco material com suporte cilíndrico: Geometria, carregamento e condições de fronteira; b) corte efectuado no conjunto para melhor visualização
a) b)
P P

4. Aplicações, Resultados e Validação 69
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
a) corte longitudinal intermédio do bloco material: Carga P1 ; p = 1 ; rmin = 0,001
b) bloco material completo: Carga P1 ; p = 1 ; rmin = 0,001
c) corte longitudinal intermédio do bloco material: Carga P1 ; p = 2 ; rmin = 0,004
d) bloco material completo: Carga P1 ; p = 2 ; rmin = 0,004

Figura 4.33: Resultados do bloco material após optimização topológica para a carga P1: na coluna da esquerda pode observar-se a representação dos elementos da estrutura; na coluna da direita pode observar-se a estrutura com interpolação entre os nós
a) a)
b) b)
c) c)
d) d)

4. Aplicações, Resultados e Validação 70
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
a) corte longitudinal intermédio do bloco material: Cargas múltiplas; p = 1; rmin = 0,001
b) bloco material completo: Cargas múltiplas; p = 1 ; rmin = 0,001
c) corte longitudinal intermédio do bloco material: Cargas múltiplas; p = 2; rmin = 0,004
d) bloco material completo: Cargas múltiplas; p = 2 ; rmin = 0,004

Figura 4.34: Resultados do bloco material após optimização topológica para o critério de cargas múltiplas: na coluna da esquerda pode observar-se a representação dos elementos da estrutura; na coluna da direita pode observar-se a estrutura com interpolação entre os nós
d) d)
c) c)
b) b)
a) a)

4. Aplicações, Resultados e Validação 71
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
Na figura 4.35 pode observar-se o problema da instabilidade de tabuleiro
“checkerboard”. No caso da carga P1 e no caso do critério de cargas múltiplas, vê-se
claramente regiões onde elementos com e sem material se alternam entre elementos
vizinhos, criando um padrão similar ao tabuleiro de xadrez. Nos 2 casos foram utilizados
valores para o filtro de controlo de perímetro (rmin), que no entanto não foram os
adequados, pois as zonas xadrez não desapareceram. Como já referido anteriormente,
ao utilizar-se um valor para o filtro de controlo de perímetro (rmin) adequado, as zonas
xadrez tendem a desaparecer.

a) Carga P1; p = 2 ; rmin = 0,004 b) Cargas múltiplas; p = 2 ; rmin = 0,004



Os resultados mostram novamente que as soluções sem penalização das
densidades intermédias apresentam extensas zonas de densidade intermédia, de difícil
interpretação e definição do ponto de vista de fabrico, sendo evidente a importância de
um método que conduza a soluções sem (ou com poucas) densidades intermédias. A
penalização das densidades intermédias tem este efeito e ao aumentarmos o coeficiente
de penalidade essas áreas intermédias vão diminuindo, tornando mais clara a topologia
final da estrutura. Ao aumentarmos o factor de penalização de densidades estamos a
forçar a obtenção de uma solução inteira através de um problema de optimização
contínua com todas as dificuldades que lhe estão associadas de existência de solução e
convergência. Pese embora as dificuldades acima referidas, a robustez do método de
cálculo do multiplicador de Lagrange ficou demonstrada pois o constrangimento de
volume foi sempre verificado dentro de margem de tolerância apertada.
As soluções obtidas, em particular as soluções com o coeficiente de penalização
das densidades intermédias superior à unidade, mostram a aplicabilidade do método de
optimização topológica de estruturas sujeitas a condições de contacto.
a) b)
Figura 4.35: Problema da Instabilidade de Tabuleiro “checkerboard”

4. Aplicações, Resultados e Validação 72
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
Na figura 4.36 podem observar-se as tensões de Von Mises nos pontos de
integração. Como seria de esperar, o valor máximo para as tensões de Von Mises ocorre
no ponto onde a força é aplicada. Pode ver-se que as tensões são inferiores à tensão
limite de elasticidade do aço.
Na figura 4.37 pode observar-se o deslocamento espacial dos nós.






Os resultados aqui obtidos foram os esperados e são similares a resultados
provenientes de literatura especializada como, por exemplo, [10].
Figura 4.37: Deslocamento espacial dos nós (factor de escala: +2,377e+03)
Figura 4.36: Tensões de Von Mises nos pontos de integração (factor de escala: +2,377e+03)

5. Conclusões 73
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado

Capítulo 5. Conclusões

O problema de Optimização Topológica tem como objectivo encontrar a melhor
distribuição para uma dada quantidade de material no interior de um espaço de projecto
predefinido, sob determinadas condições e cargas.
Este trabalho apresenta um método de optimização topológica para o caso da
minimização da energia de deformação sujeita a um constrangimento de volume, as
equações matemáticas que o definem e a sua implementação numérica. Neste trabalho
também se apresenta o modelo computacional de optimização topológica e descreve-se
de que forma ocorre o processo de optimização, desde a definição do problema até a
visualização/análise dos resultados. A metodologia descrita foi implementada num
programa chamado TopF que recorre ao programa ABAQUS® para a análise de
elementos finitos. Os resultados são visualizados no pós-processador GID®.
Como testes de validação da metodologia de resolução de problemas de
optimização topológica, foram executados diversos exemplos. Os resultados destes
exemplos foram comparados com resultados provenientes de literatura especializada. Foi
estudada a influência de parâmetros, tais como o coeficiente de controlo de perímetro rmin
e o coeficiente de penalização de densidades relativas intermédias p, no processo de
optimização. Analisaram-se os problemas de implementação numéricos, tais como, a
dependência da malha e a instabilidade de tabuleiro “checkerboard”. Verificou-se também
a convergência da função objectivo para os vários exemplos.
Na sua globalidade, os resultados obtidos confirmam a optimização topológica em
geral como uma ferramenta poderosa na previsão da topologia óptima de estruturas
bidimensionais e tridimensionais. No entanto, o método apresenta alguns problemas, tais
como a necessidade de uma escolha cuidadosa dos parâmetros de optimização para
uma boa convergência do algoritmo. Desta forma, deve ter-se uma escolha bastante
criteriosa do coeficiente de controlo de perímetro rmin e do coeficiente de penalização de
densidades relativas intermédias p no processo de optimização.
De um modo geral, a resolução dos problemas considerando o constrangimento de
perímetro combinado com a penalização das densidades relativas intermédias produz
estruturas cuja topologia apresenta escassas áreas com densidade intermédia, que
configuram uma topologia final aceitável. Desta forma o modelo aplicado a estruturas

5. Conclusões 74
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
bidimensionais e tridimensionais contribui para uma melhor identificação das suas
configurações geométricas óptimas.
Atendendo a que, nos dias de hoje, existe uma maior exigência requerendo uma
maior redução do tempo de projecto, produtos mais funcionais, mais eficientes, com
maior qualidade e menor custo, o método de Optimização Topológica apresenta-se como
um processo de extrema utilidade para ajudar a prever e analisar o comportamento de
um produto mesmo antes do seu fabrico.



Bibliografia 75
Marco Filipe Esteves Fernandes Dissertação de Mestrado
Bibliografia

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